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Exponentielle, logarithme |
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Asty
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Envoyé: 01.02.2006, 20:18
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enregistré depuis: oct. 2005
Messages: 5
Status: hors ligne
dernière visite: 12.02.06
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Bonjour à tous
J'aurais besoin de votre aide sur un exo svp, car je suis complètement bloqué ! J'ai terminé la partie A, et certaines questions de la B. Merci d'avance !
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur ]0; +inf/[ par :
f(x) = [x ln(x)] / (x+1)
............
PARTIE B
On se propose d'étudier l'équation f(x) = n, où n est un entier naturel non nul.
1°) Montrer que pour tout n cette équation admet une solution (alpha)n et une seule (en particulier, (alpha)1 = (alpha))
[J'ai fini cette question]
2°) Comparaison de (alpha)n à en
a) Etablir que f(en) <= n.
En déduire que (alpha)n >= en
b) Prouver que la relation f((alpha)n) = n peut s'écrire sous la forme :
[1] ln[(alpha)n/en] = n/(alpha)n
[J'ai fini cette question]
En déduire, à l'aide de a) la limite de (alpha)n/en lorsque n tend vers l'infini.
3°) Comparaison de (alpha)n à [en+n]
On écrit (alpha)nsous la forme :
[2] (alpha)n = (en) (1+ (epsilon)n) où (epsilon)n >= 0.
a) A l'aide de [1], exprimer (1+(epsilon)n) ln(1+(epsilon)n) en fonction de n.
[J'ai trouvé (1+(epsilon)n) ln(1+(epsilon)n) = n/en Est-ce correct ? ]
b) Etablir que pour t >= 0 :
0 <= (1+t) ln(1+t) - t <= t²/2
c) Déduire de a) et de b) que pour tout n >= 1 :
(epsilon)n <= n e-n <= (epsilon)n + ((epsilon)²n/2)
puis que :
[3] 0 <= n e-n - (epsilon)n <= (n²/2) e-2n
d) A l'aide de [2] et [3], déterminer la limite de en + n - (alpha)n lorsque n tend vers +inf/
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jaoira
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Envoyé: 02.02.2006, 14:52
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Voie lactée
enregistré depuis: avr. 2005
Messages: 143
Status: hors ligne
dernière visite: 11.05.07
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Salut,
B. 2) a. On a : f(en) = (n.en)/(en+1) = n.(en/(en+1)). Apres, tu peux montrer que en/(en+1) <= 1, et en multipliant cette derniere inegalite' par n, tu obtiens ce qu'on t'a demande'....
Pour deduire que (alpha)n >= en, utilises la croissance de f (que t'as du obtenir dans la partie A `a mon avis).
B. 2) b. En utilisant l'egalite [1], on a : (alpha)n/en = en/(alpha)n et d'apres la question precedente, (alpha)n >= en. Compare alors n/(alpha)n et n/en, puis sachant la limite de n/en, deduis celle de n/(alpha)n (pour cela n'oublie pas que (alpha)n >= en et il te faudra utiliser le theoreme dit des gendarmes...) et par la même , celle de (alpha)n/en.
3. a. C'est correct...
3. b. Etudie les 2 fonctions g(x) = (1+x)ln(1+x)-x et h(x) = (1+x)ln(1+x)-x-x2/2, pour x >= 0. Tu montreras que pour tout x >= 0, g(x) >= 0 et h(x) <= 0.
3.c et 3.d : ces questions decoulent facilement de 3.a. et 3.b.
Bonne chance et fais signe si t'as un probleme.
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Asty
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Envoyé: 02.02.2006, 21:14
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enregistré depuis: oct. 2005
Messages: 5
Status: hors ligne
dernière visite: 12.02.06
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Merci bcp pour ta réponse !
J'ai pas encore tout fini, mais ça m'aide bcp !
Bonne soirée, et encore merci 
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