Bijection, Injection et surjection

Bonjour,
J'ai un exercice où j'ai 6 fonctions et je dois dire si il y a :
-Bijection?
-Injection?
-Surjection?

Je vous donne 3 fonctions:

f= Z -> Z f(n)= le quotient de n par 3

f= {0,1}* -> N f(u)= la longueur de u

f= {0,1}* -> {0,1}* f(x1x2.............xnx1) (permutation circulaire)

premièrement ce qui me gène, c'est que je ne comprends pas ce que veut dire f(..)= .............

Comment faire pour voir si il y a bijection? Injection? Surjection?

Merci beaucoup

Bonjour,

Je te donne quelques précisions mathématiques, mais seulement mathématiques !

Tu parles de "fonctions" …
Une fonction f de E vers F est définie sur son domaine de définition Df (inclus dans E).
Ainsi, f est une application de Df vers F ce qui veut dire que tout élément x de Df a une image (unique) y=f(x) dans F.

Exemples :

Si tu considères la fonction f de R vers R définie par f(x)=x²
Tout nombre réel peut s'élever au carré pour donner un autre nombre réel
donc Df=R
f est une application de R vers R.

Si tu considères la fonction g de R vers R définie par g(x)=√x
La condition d’existence est x positif donc $Dg=R^+$
g est une application de $R^+$ vers R.

Les propriétés d’injectivité, surjectivité, bijectivité, s’appliquent aux applications.

Je te rappelle les propriétés possibles

1.Injectivité
Une application f de Df vers F est injective si et seulement si tout élément de F possède
au plusun antécédent dans Df.
2**.Surjectivité**
Une application f de Df vers F est surjective si et seulement si tout élément de F possède
au moinsun antécédent dans Df.
3**.Bijectivité**
Une application f de Df vers F est bijective si et seulement si tout élément de F possède
exactementun antécédent dans Df (ce qui équivaut à dire que f est à la fois injective et surjective)

Je regarde la première fonction que tu donnes.

Z est l'ensemble des entiers Z={...,-3,-2,-,1,0,1,2,3,...}

n est un entier

f(n)=n/3

n/3 doit être un entier donc n doit être un entier multiple de 3

exemples pour comprendre

f(1)=1/3
1/3 n'est pas un entier donc 1 n'appartient pas à Df
f(6)=6/3=2
2 est un entier donc 2 appartient à Df

Df est l'ensemble des entiers multiples de 3, qui, mathématiquement se note 3Z

f est donc une application de 3Z vers Z

Propriété possible de cette application :

Soit y un élément de Z (ensemble d'arrivée)

Il faut chercher les antécédents possibles n de y dans 3Z (ensemble de départ):

f(n)=y <=> n/3=y <=> n=3y

n est l'entier 3y multiple de 3 donc n=3y appartient à 3Z

Tout élément y de Z a donc
exactementun antécédent 3y dans 3Z

f est donc unebijection de 3Z vers Z

Pour les autres fonctions données, j"ignore les notations ...encore du domaine informatique...donc je ne peux pas te donner de réponses les concernant.

Bonjour Mtschoon,
Malgré l'explication détaillé j'essaie d'appliquer la methode "betement" mais je ne la comprends pas.
En reprenant votre exemple si je fait f(3) =3/3=1, 1 est un entier donc appartient à DF.
F application de 1Z vers Z

n/1=y
n=y

Je travaillais avec les "patates" (https://openclassrooms.com/courses/les-fonctions-en-maths/injection-surjection-et-bijection) car je trouve ça moins abstrait.
J'ai bien compris visuellement ce qu'on veut pour l'injection.

Ce que j’essayai de faire c'est prendre N ensemble de départ.
Par exemple je prends 2 je fais 2/3 et je regarde dans l'ensemble d'arrivé si j'ai 2/3 est présent ce qui n'est pas le cas donc 2 ensemble de départ n'a pas d'antécédent dans l'ensemble d'arrivé: CE QUI EST FAUX en vue de votre réponse et malheureusement c'est encore mon raisonnement.

Par contre j'ai compris que la bijection entraine l'injection et la surjection

Citation
F application de 1Z vers Zc'est FAUX

Je crois que tu confonds ensemble de départ et ensemble d'arrivée.

En reprenant ton exemple
f(3) =3/3=1 qui convient donc 3 appartient à Df ; 3 appartient à 3Z

[quote=mtschoon]
Citation

f(3) =3/3=1 qui convient donc 3 appartient à Df ; 3 appartient à 3Z

D'accord je viens de comprendre pour l'ensemble d'arrivée pourquoi c'est 3Z.

par contre je ne comprends pas votre dernière phrase;

Et si on veut représenter ça avec les "patates", dans l'ensemble de départ (pour f(3)), on prends la valeur 3 qu'on emmène vers quelle valeur de l'ensemble d'arrivée? la valeur 1(car 3/3=1)?

3 est un multiple de 3 car 3=3x1

donc 3 appartient à 3Z

Je crois avoir compris 3 appartient à 3Z, au meme titre que:
f(6)=2 -> 6=3x2
f(9)=3 -> 9=3x3
donc 6 et 9 appartiennent à 3Z.

je vais essayer un autre calcul pour voir si j'ai compris, c'est exactement le meme que precedemment mais au lieu d'avoir le quotien de n par 3 c'est
le reste de n par 3
On est d'accord que ça veut dire n-3?

Citation
On est d'accord que ça veut dire n-3?Non..si tu parles du reste de la division de n par 3

Pour comprendre : pose une division d'entier positif par 3(disposition pratique) pour trouver le reste.

donc c'est encore n/3
avec n positif
Donc n/1, n/2, n/3...... ??????????,

Non...

Reprenons ce dernier exemple avec l'ensemble N des entiers naturels
N={0,1,2,3,4,....}

Soit f fonction de N vers N telle que f(n) est le reste de la division euclidienne de n par 3

Principe de la division euclidienne: soit q le quotient entier de n par 3 et r le reste

n=3q+r avec r naturel 0 ≤ r < 3 ( c'est à direr=0 ou 1 ou 2)

Tu peux écrire f(n)=n-3q=r avec r=0 ou 1 ou 2

Pour tout naturel n de N, on trouve une valeur naturelle pour r
Donc Df=N

f est une application de N vers N

Réfléchis aux propriétés possibles

Par exemple, calcule f(1), f(2), f(3), f(4),...

Avec cela, tu peux conclure sur l'injectivité ou la non-injectivité de f

Vu que r=0 ou 1 ou 2 , réfléchis aux antécédents de 3 ou 4 ou...

Avec cela, tu peux conclure sur la surjectivité ou la non-surjectivité de f

Avec les deux réponses trouvées, tu pourras conclure sur la bijectivité ou la non-bijectivité de f

Je ne comprends vraiment pas ce qui bloque car pour une fois j'ai compris la signification des termes (avec la représentation en patate) bijection, surjection, et injection

Tu n'as pas compris (ou oublié) comment on fait une division euclidienne. dans N ... (disposition pratique avec dividende, diviseur, quotient, reste)

Je te mets un lien.

http://www.educastream.com/la-division-euclidienne-cm1

Ici, il faut faire une division par 3 (le diviseur est 3)

Pour t'entraîner, divise 16 par 3.
Doncn=16
Tu dois trouver que le quotient q vaut 5 et que le reste vaut 1
donc f(16)=1

Lorsque tu auras compris, tu reprends ma réponse précédente et réponds aux questions.

Merci je pense commencer à comprendre mais il faut encore que je m'entraine.
Bonne soirée

Lorsque tu auras tout à fait compris, pour vérification, je te mets les valeurs que tu dois trouver ,après avoir fait les divisions comme indiqué dans le lien donné.

f(0)=0
f(1)=1
f(2)=2
f(3)=0
f(4)=1
f(5)=2
f(6)=0
f(7)=1
etc

Tu peut constater que 0 de N (arrivée) a plusieurs antécédents (0,3,6) dans N(départ), que 1 a plusieurs antécédents (1,4,7) dans N (départ), etc, donc f non injective.

Les images, par f, des éléments de N sont 0,1,2 ( car il s'agit d'une division euclidienne par 3)
Donc 3,4,5,6,7,... de N(arrivée) n'ont aucun antécédent dans N (départ) doncf non surjective

donc f non bijective.

Bonnes réflexions.

Merci Mtschoon pour ce complément.
C'est les conclusions que j'en avais tiré.

De rien !

Bon dimanche Dut.