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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Fonction logarithme x->ln[x+ rac(x²-1)]-ln(x)

- classé dans : Fonction logarithme

Envoyé: 09.11.2017, 20:29



enregistré depuis: nov.. 2017
Messages: 1

Status: hors ligne
dernière visite: 09.11.17
Bonjour :)

Je suis en terminale, et je bloque sur un exercice où il faut donner la variation de :
f : x→ln(x+√(x²-1))-ln(x)

j'ai déjà trouvé sa dérivée :
∀x∈]1,+∞[, f'(x)=[1/(√(x²-1))]-(1/x)

Mais j'arrive pas à déterminer le signe de la dérivée.

J'ai, bien sûr, essayé de résoudre une inéquation : f'(x)>0
Mais je finis toujours par tomber sur x/√(x²-1)>1, et, à partir de là, je suis bloqué

Merci d'avance pour votre aide !





modifié par : mtschoon, 10 Nov 2017 - 10:37
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Envoyé: 10.11.2017, 09:16

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9307

Status: hors ligne
dernière visite: 22.11.17
Bonjour,

Oui pour la dérivée

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1}{x}

Piste pour trouver le signe,

En réduisant au même dénominateur

f'(x)=\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x\sqrt{x^2-1}

x appartient à ]1,+∞[, donc x > 0

Le dénominateur de f'(x) est donc strictement positif

Il te reste à déterminer le signe du numérateur x-\sqrt{x^2-1}

Tu peux multiplier et diviser par la quantité conjuguée

x-\sqrt{x^2-1}=\frac{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}{(x+\sqrt{x^2-1})}

Tu calcules le numérateur (x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})
(a-b)(a+b)=a²-b² , et tu dois prouver facilement que cette expression est strictement positive

Donc : f'(x) > 0

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