Arithmétique. Problème congruence


  • M

    Pour chacune des implications suivantes :

    • Dites si elle est vraie
    • Formule l'implication réciproque
    • Dites si cette implication réciproque est vraie

    Toute réponse doit être justifiée.

    1. xxx est un entier naturel non nul.
      Si x3≡0(mod9)x^3 \equiv 0 \pmod 9x30(mod9) alors , x≡0(mod3)x \equiv 0 \pmod 3x0(mod3)

    2. a,b,ca,b,ca,b,c et ddd sont quatres entiers naturels non nuls
      a) si ddd divise ababab, alors ddd divise aaa ou ddd divise bbb
      b) Si ddd divise aaa et bbb , alors ddd divise a+ba + ba+b
      c) Si aaa divise bbb et aaa divise ccc , alors a2a^2a2 divise bcbcbc

    Aidez moi s'il vous plait.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Bizarre que tu ne proposes rien pour cet exercice qui comprend des questions totalement indépendantes...
    Tu ne sais vraiment rien faire ?

    Vu le titre que tu donnes, je regarde la 1)

    Piste pour la partie directe, soit x3≡0(mod9)x^3 \equiv 0 \pmod 9x30(mod9)
    Tu peux faire la table de congruence modulo 9 (tu dois détailler les calculs nécessaires , bien sûr)

    Sauf erreur : x3≡0(mod9)x^3 \equiv 0 \pmod 9x30(mod9) correspond à 3 cas :

    • x≡0(mod9)  ⟹  x=9k=3(3k)  ⟹  x≡0(mod3)x \equiv 0 \pmod 9 \implies x = 9k = 3(3k) \implies x \equiv 0 \pmod 3x0(mod9)x=9k=3(3k)x0(mod3)
    • x≡3(mod9)  ⟹  ...x \equiv 3 \pmod 9 \implies ...x3(mod9)... tu termines
    • x≡6(mod9)  ⟹  ...x \equiv 6 \pmod 9 \implies ...x6(mod9)... tu termines

    Conclusion : x≡0(mod3)x \equiv 0 \pmod 3x0(mod3)
    L'implication proposée est donc vraie

    Piste pour la partie réciproque : soit x≡0(mod3)x \equiv 0 \pmod 3x0(mod3)

    x≡0(mod3)  ⟹  x=3k  ⟹  x3=27k3=3(9k3)  ⟹  x3≡0(mod9)x \equiv 0 \pmod 3 \implies x = 3k \implies x^3 = 27k^3 = 3(9k^3)\implies x^3 \equiv 0 \pmod 9x0(mod3)x=3kx3=27k3=3(9k3)x30(mod9)

    L'implication réciproque est donc vraie.

    Bon travail !


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