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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Aire minimale- fonction trinôme du second degré

- classé dans : Second degré & polynômes

Envoyé: 30.10.2017, 13:15

marion2307

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Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour un DM de math s’il vous plaît :

ABCD est un rectangle tel que AD= a et AB= 2a (avec a > 0)
Les points M,N,P et Q appartiennent respectivement au cotés [AB], [BC], [DC] et [AD]
De plus AM=BN=PC=DQ
Déterminer la position du point M sur [AB] qui rend l’aire du quadrilatère MNPQ minimale

J’avoue que j’ai pas compris grand chose, merci de votre aide !

modifié par : mtschoon, 30 Oct 2017 - 16:17
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Envoyé: 30.10.2017, 16:30

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Bonjour,

J'espère que tu as fait un schéma.

Idée :

L'aire du quadrilatère MNPQ est la différence entre l'aire du rectangle ABCD et l'aire des quatre triangles rectangles de sommets respectifs A,B,C,D

Tu peux poser AM=x avec 0 ≤ x ≤ a

L'aire du rectangle ABCD est
a\times 2a=2a^2

Tu calcules les mesures des différents segments utiles en fonction de x
MB=PD=a-x \\ QA=NC=2a-x

Tu calcules les aires des 4 triangles rectangles (de sommets respectifs A,B,C,D) en fonction de x

Tu en déduis l'aire MNPQ en fonction de x . Soit f(x) cette aire.

Sauf erreur, tu dois trouver f(x)=2x^2-3ax+2a^2

Tu étudies les variations de f sur [0,a] et tu en déduis la valeur minimale pour x, d'où la position cherchée pour M

Bons calculs !
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Envoyé: 01.11.2017, 18:06

marion2307

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Merci beaucoup, j’ai réussi jusqu’à la partie de la variation de la fonction sachant qu’il y a 2 carré (2a² et 2x²), comment étudier cette fonction ?
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Envoyé: 01.11.2017, 20:37

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La variable est x

f(x) est de la forme Ax^2+Bx+C

A=2 \\ B=-3a \\ C=2a^2

f est une fonction trinôme du second degré.
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Envoyé: 01.11.2017, 21:13

marion2307

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J’avais essayé comme ça mais je n’en comprend pas comment faire, j’ai appris à le faire avec ax+bx+c mais pas avec des carré je n’en sais pas comment faire pour le calculer. Désolé de demander encore.
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Envoyé: 01.11.2017, 21:17

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Tu as, je pense, appris, non avec ax+bx+c mais avec ax²+bx+c

Regarde de près ton cours sur les polynômes du second degré.

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Envoyé: 01.11.2017, 21:22

marion2307

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Oui c’est exact, mais comme ici il y a 2 inconnues et un C avec carré , je n’arrive pas à trouvé une façon de m’en sortir pour arriver à un résultat cohérent.
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Envoyé: 01.11.2017, 21:28

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Il n'y a pas deux inconnues.
Il y en a une seule : c'est x
a joue le rôle de paramètre.

Regarde ton cours de près (en adaptant les notations).

f(x)=Ax²+Bx+C

A=2 dons A > 0
f admet un minimum pour x=\frac{-B}{2A}

modifié par : mtschoon, 01 Nov 2017 - 21:31
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Envoyé: 01.11.2017, 21:34

marion2307

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D’accord, je vais essayer, merci de votre aide.
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Envoyé: 06.11.2017, 13:59

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De rien !

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