Devoir Maison (Suite)

Bonjour, j'ai un DM de maths où je ne comprends pas grand chose, et où je ne suis pas sure du peu de réponses que j'ai obtenu, j'aimerais de l'aide s'il vous plait, voici le sujet:

On considère la suite $U_n)$ définie par $U_0=1$ et, pour tout entier $n$ : $U_{n+1} = 1 + 1/U_n$

(1) Calculer $U_1$ , $U_2$ , $U_3$ , $U_4$ et $U_5$ (on donnera les résultats sous forme fractionnaire)
(2) Démontrer que, pour tout entier naturel n, $U_n$ ≥ 1 (notre professeur nous a indiqué que l'on devait faire un raisonnement par récurrence)
(3) Montrer que si la suite $U_n$ ) converge alors sa limite est nécessairement le nombre ℘ = (1+√5)/2
(4) a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n, |U_{n+1}$ -℘| ≤ 1/℘ | $U_n$ -℘| (non obligatoire)
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, | $U_n$ -℘| ≤ (1/℘ $^n$ | $U_0$ -℘| (notre professeur nous a indique ici également que l'on devait faire un raisonnement par récurrence)
c) En déduire que la suite $U_n)$ converge vers ℘

Remarque : le nombre ℘ est appelé le nombre d'or

Fin du sujet.

Pour la question 1 je trouve $U_1$ =2/1, $U_2$ =3/2, $U_3$ =5/3, $U_4$ =8/5 et $U_5$ =13/8. Est-ce juste ?
Pour la question 2 je pars de $P_n$ : $U_n$ ≥1)
Je trouve que $P_0$ est vraie, je chercher donc à prouver que $P_{k+1}$ est vraie, c'est-à-dire $U_{k+1}$ ≥1 mais je trouve que $U_{k+1}$ ≤2. Je ne comprends pas en quoi cela prouve que $P_{k+1}$ est vraie et donc que $P_K$ est vraie.
Pour la suite des questions je ne trouve rien et je suis complètement bloquée malgré plusieurs heures de travail. Merci de m'aider.

Bonjour,

C'est bon pour la 1)

Piste pour l'hérédité de la 2)

Hypothèse de la récurrence : $U_k$ ≥ 1
Conclusion à démontrer : $U_{k+1}$ ≥ 1

DEMONSTRATION
$U_k$ ≥ 1 donc nécéssairement $U_k$ est positif, donc $1/U_k$ est positif
$1uk≥0→1+1uk≥1→uk+1≥1\frac{1}{u_k} \ge 0 \rightarrow 1+\frac{1}{u_k} \ge 1 \rightarrow u_{k+1} \ge 1$

Pour la 3), on suppose que la suite converge vers un réel l
Lorsque n tend vers +∞, $U_n$ et $U_{n+1}$ converge vers l

Par passage à la limite, l'égalité $un=1+1unu_n=1+\frac{1}{u_n}$ te permet d'écrire:
$l=1+1ll=1+\frac{1}{l}$
Résous cette équation d'inconnue l

Essaie de poursuivre.

Merci beaucoup, je peux dire que $U_n$ et $U_{n+1}$ par unicité de la limite c’est celà ?

C’est l’egalite $U$ _{n+1} $1+1/U_n$ non ?

Pour trouver l, j’ai calculé le discriminant puis les deux racines puisque le discriminant est positif, j’ai donc trouvé $x_1$ =(1-√5)/2 et $x_2$ =(1+√5)/2, donc comme $U_n$ ≥1, ℘=(1+√5)/2 (c’est celà ?)

Pour la question 4 b) Notre professeur nous a indique que l'on devait faire un raisonnement par récurrence.

Je pose donc la conjecture $P_n$ :( | $U_n$ -℘|≤(1/℘ $^n$ | $U_0$ -℘|)

on a | $U_0$ -℘|=(-√5 +1)/2 et (1/℘)| $U_0$ -℘|=(-√5 +1)/2
donc $P_0$ est vraie

Démonstration de la récurrence:

On a | $U_k$ -℘|≤(1/℘ $^k$ | $U_0$ -℘|
Comme Uk≥1 (question 2) On a | $1/U_k$ -℘|≤(1/℘ $^k$ | $1/U_k$ -℘|
⇔| $1/U_k$ +1-℘|≤(1/℘ $^k$ | $1/U_k$ +1-℘|
⇔| $U_{k+1}$ -℘|≤1/℘| $U_k$ -℘|

Pour la question c) notre professeur nous a indiqué d'utiliser le théorème d'encadrement, mais je ne vois pas avec quoi je pourrais encadrer ni comment faire

Tu devrais attendre d'avoir la réponse à une question avant de poser une question relative à la question suivante.
Ce n'est pas plus rapide et tu auras moins de précisions car on ne peut pas détailler plusieurs questions à la fois.

Pour la 3), relis avec soin l'explication donnée pour obtenir l'équation.

La valeur de φ est bonne.

4b) Ta démonstration de l'hérédité n'est pas bonne.

C'est la propriété 4)a) qu'il faut utiliser (elle a été donnée pour ça).
Refais la démonstration.

Pour la 4)c)

Une valeur absolue est toujours positive (donc supérieure à 0)

Grâce à la 4)b), tu peut écrire

$\le |u_n-\varphi| \le (\frac{1}{\varphi})^n|u_0-\varphi|$

1/φ est compris entre 0 et 1 donc , lorsque n tend vers +∞, (1/φ $^n$ tend vers 0, donc (1/φ $^n$ |U0-φ| tend vers 0

|Un-φ| est compris entre 0 et une quantité qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞

Donc

$lim⁡+∞∣un−φ∣=0\lim_{+\infty}|u_n-\varphi|=0$

Tu tires la conclusion pour $U_n$

Très bien merci, j'essayerai de faire plus attention à l'avenir.

Vous voulez dire qu'au début de ma démonstration pour la question 4) c), il faut que je parte de la propriété de la question 4) b) ?

Pour la 4) c) je trouve effectivement comme montrer dans la question 3) que la limite = (1+√5)/2, je vous remercie

Il me semble que tu mélanges un peu les questions...

D'où l'inconvénient de ne pas faire les choses dans l'ordre.

Pour l'hérédité de la récurrence de la 4)b), tu dois propriété [4)a)

Hypothèse de la récurrence :
$∣uk−φ∣≤(1φ)k∣u0−φ∣|u_k-\varphi |\le (\frac{1}{\varphi})^k|u_0-\varphi |$
Conclusion à démontrer
$∣uk+1−φ∣≤(1φ)k+1∣u0−φ∣|u_{k+1}-\varphi |\le (\frac{1}{\varphi})^{k+1}|u_0-\varphi |$

DEMONSTRATION

Grâce à la 4)a) , tu peux écrire
$∣uk+1−φ∣≤1φ∣uk−φ∣|u_{k+1}-\varphi|\le \frac{1}{\varphi}|u_k-\varphi|$

Grâce à l'hypothèse de la récurrence :
$1φ∣uk−φ∣≤1φ(1φ)k∣u0−φ∣\frac{1}{\varphi}|u_k-\varphi|\le \frac{1}{\varphi} (\frac{1}{\varphi})^k|u_0-\varphi |$

Donc, par transitivité de la relation ≤
$∣uk+1−φ∣≤1φ(1φ)k∣u0−φ∣|u_{k+1}-\varphi|\le \frac{1}{\varphi} (\frac{1}{\varphi})^k|u_0-\varphi |$

Tu termines.