3. somme (séries)

somme (séries)

  • S

    Bonjour,

    je souhaite montrer cette formule: ∀n,∈,n{\forall {n} } , \in , {\mathbb {n}}∀n,∈,n ,$\quad \setminus \left{ 0,1 \right}$ : ∑k=2nk−1(k+1)(k−1)=14−12n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }∑k=2n​(k+1)(k−1)k−1​=41​−2n(n+1)1​

    j 'ai proposé une récurrence sur n qui a aboutie cependant les calculs m'ont semblé interminable .Avez vous une autre idée ou autre proposition pour faire plus simple?

    voici la récurrence

    1)initialisation, pour n=2n =2n=2

    123=14−13.4=16\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ 3 } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 3.4 } =\frac { 1 }{ 6 }321​​=41​−3.41​=61​

    donc vraie pour n=2

    1. hérédité , supposons la formule vraie ∀n,∈,n{\forall {n} } , \in , {\mathbb {n}}∀n,∈,n

    donc

    ∑k=2n+1k−1(k+1)(k−1)=(∑k=2nk−1(k+1)(k−1))+1n(n+2)(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\left( \sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } \right) +\frac { 1 }{ n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }∑k=2n+1​(k+1)(k−1)k−1​=(∑k=2n​(k+1)(k−1)k−1​)+n(n+2)(n+1)1​

    ...

    n(n+2)(n+1)4n(n+2)(n+1)+44n(n+2)(n+1)−2(n+2)2n(n+1)=n3+3n24n(n+2)(n+1)=n2+3n4(n+2)(n+1)\frac { n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } +\frac { 4 }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } -\frac { 2\left( n+2 \right) }{ 2n\left( n+1 \right) } =\frac { { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 } }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }4n(n+2)(n+1)n(n+2)(n+1)​+4n(n+2)(n+1)4​−2n(n+1)2(n+2)​=4n(n+2)(n+1)n3+3n2​=4(n+2)(n+1)n2+3n​

    sachant que:∑k=2nk−1(k+1)(k−1)=14−12n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }∑k=2n​(k+1)(k−1)k−1​=41​−2n(n+1)1​

    mais aussi: =n2+n−24n(n+1)=\frac { { n }^{ 2 }+n-2 }{ 4n\left( n+1 \right) }=4n(n+1)n2+n−2​ ( la solution apparaît seulement après transformation de la fraction au dessus )
    donc
    ∑k=2n+1k−1(k+1)(k−1)=(n+1)2+(n+1)−24(n+1)(n+2)=n2+3n4(n+2)(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { { \left( n+1 \right) }^{ 2 }+\left( n+1 \right) -2 }{ 4\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }∑k=2n+1​(k+1)(k−1)k−1​=4(n+1)(n+2)(n+1)2+(n+1)−2​=4(n+2)(n+1)n2+3n​

    la formule est vraie pour n+1 ce qui montre que cette formule est bonne!

    merci mtschoon

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Une idée pour éviter la récurrence (qui n'est pas plus simple, mais qui est peut-être plus originale...)

    k−1=1kk^{-1}=\frac{1}{k}k−1=k1​

    $\frac{k^{-1}}{(k+1)(k+1)}=\frac{1}{(k-1)k(k+1)$

    En décomposant

    k(k−1)k(k+1)=ak−1+bk+ck+1\frac{k}{(k-1)k(k+1)}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k+1}(k−1)k(k+1)k​=k−1a​+kb​+k+1c​

    Sauf erreur a=12 b=−1 c=12a=\frac{1}{2}\ b=-1\ c=\frac{1}{2}a=21​ b=−1 c=21​

    $\bigsum_{k=2}^{k=n}\frac{1}{(k-1)k(k+1)$ se décompose ainsi en 3 sommes (faisant une somme télescopique sur 3 niveaux)

    Tu dois obtenir des simplifications et aboutir au membre de droite de la formule de l'énoncé.

    S 1 réponse
  • S

    bonjour,

    C est une excellente idée , c'est plus aisé!

    j 'ai réussie à faire apparaître deux sommes télescopique en cassant une fraction en deux

    1k(k+1)(k−1)=−12k−12k+12k+1+12k−1\frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } =-\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k } -\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k } +\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k+1 } +\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k-1 }k(k+1)(k−1)1​=−k21​​−k21​​+k+121​​+k−121​​

    ∑k=2n1k(k+1)(k−1)=12∑k=2n(1k−1−1k)−12∑k=2n(1k−1k+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } = } \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k-1 } -\frac { 1 }{ k } \right) } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k } -{ \frac { 1 }{ k+1 } } \right) }∑k=2n​k(k+1)(k−1)1​=21​∑k=2n​(k−11​−k1​)−21​∑k=2n​(k1​−k+11​)

    En posant, k′−1=kk'-1=kk′−1=k

    $\ =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k-1 } \right) } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k'=3 }^{ n+1 }{ \left( \frac { 1 }{ k'-1 } \right) } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k } \right) } +\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k'=3 }^{ n+1 }{ \left( \frac { 1 }{ k' } \right) } \$

    =14+12(n+1)−12n= \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2\left( n+1 \right) } -\frac { 1 }{ 2n }=41​+2(n+1)1​−2n1​

    donc
    ∑k=2n1k(k+1)(k−1)=14−12n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } = } \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }∑k=2n​k(k+1)(k−1)1​=41​−2n(n+1)1​

    merci, 😄 bonne semaine

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Ce que tu as fait me parait très bien et c'est beaucoup plus dans l'esprit "Sup" que la récurrence.

    Bonne semaine à toi.

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