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Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
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somme (séries)

- classé dans : Suites & séries

Envoyé: 16.09.2017, 16:56

Constellation


enregistré depuis: janv.. 2017
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dernière visite: 29.09.17
Bonjour,

je souhaite montrer cette formule: {\forall {n} } \, \in \, {\mathbb {N}} ,\quad \setminus \left\{ 0,1 \right\} : \sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  }  } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right)  }


j 'ai proposé une récurrence sur n qui a aboutie cependant les calculs m'ont semblé interminable .Avez vous une autre idée ou autre proposition pour faire plus simple?

voici la récurrence

1)initialisation, pour n =2


\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ 3 } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 3.4 } =\frac { 1 }{ 6 }

donc vraie pour n=2

2) hérédité , supposons la formule vraie {\forall {n} } \, \in \, {\mathbb {N}}

donc

\sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  }  } =\left( \sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  }  }  \right) +\frac { 1 }{ n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right)  }

...

\frac { n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right)  }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right)  } +\frac { 4 }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right)  } -\frac { 2\left( n+2 \right)  }{ 2n\left( n+1 \right)  } =\frac { { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 } }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right)  } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right)  }

sachant que: \sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  }  } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right)  }

mais aussi: =\frac { { n }^{ 2 }+n-2 }{ 4n\left( n+1 \right)  } ( la solution apparaît seulement après transformation de la fraction au dessus )
donc
 \sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  }  } =\frac { { \left( n+1 \right)  }^{ 2 }+\left( n+1 \right) -2 }{ 4\left( n+1 \right) \left( n+2 \right)  } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right)  }

la formule est vraie pour n+1 ce qui montre que cette formule est bonne!

merci mtschoon




modifié par : mtschoon, 16 Sep 2017 - 19:12
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Envoyé: 16.09.2017, 19:10

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9231

Status: hors ligne
dernière visite: 19.10.17
Bonjour,

Une idée pour éviter la récurrence (qui n'est pas plus simple, mais qui est peut-être plus originale...)

k^{-1}=\frac{1}{k}

\frac{k^{-1}}{(k+1)(k+1)}=\frac{1}{(k-1)k(k+1)

En décomposant

\frac{k}{(k-1)k(k+1)}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k+1}

Sauf erreur a=\frac{1}{2}\ b=-1\ c=\frac{1}{2}

\Bigsum_{k=2}^{k=n}\frac{1}{(k-1)k(k+1) se décompose ainsi en 3 sommes (faisant une somme télescopique sur 3 niveaux)

Tu dois obtenir des simplifications et aboutir au membre de droite de la formule de l'énoncé.
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Envoyé: 17.09.2017, 02:10

Constellation


enregistré depuis: janv.. 2017
Messages: 75

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dernière visite: 29.09.17
bonjour,

C est une excellente idée , c'est plus aisé!

j 'ai réussie à faire apparaître deux sommes télescopique en cassant une fraction en deux


\frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  } =-\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ k } -\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ k } +\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ k+1 } +\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ k-1 }



\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  } = } \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k-1 } -\frac { 1 }{ k }  \right)  } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k } -{ \frac { 1 }{ k+1 }  } \right)  }


En posant,  k'-1=k


 \ =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k-1 }  \right)  } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k'=3 }^{ n+1 }{ \left( \frac { 1 }{ k'-1 }  \right)  } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k }  \right)  } +\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k'=3 }^{ n+1 }{ \left( \frac { 1 }{ k' }  \right)  }  \\

  = \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2\left( n+1 \right)  } -\frac { 1 }{ 2n }



donc
\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right)  } = } \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right)  }


merci, icon_smile bonne semaine
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Envoyé: 17.09.2017, 10:41

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
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dernière visite: 19.10.17
Ce que tu as fait me parait très bien et c'est beaucoup plus dans l'esprit "Sup" que la récurrence.

Bonne semaine à toi.
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