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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Suites et algorithme

- classé dans : Récurrence & Suites

Envoyé: 11.09.2017, 20:05

Voie lactée
VEROTIL

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dernière visite: 13.09.17
Bonsoir

J'ai besoin de votre aide
Je suis bloqué sur cet exo

On note Vn l'effectif de vautours pour l'année 2016+1 avec n nombre entier naturel. Il ne restait environ 1000 vautours en 2016 soit V0=1000
Hypôthèse que 2% des vautours meurent chaque année

V0=1000
V1=1080
V2=1158
V3=1235

1- Exprimer Vn en fonction de n - etablir que pour tout entier naturel n,Vn+1=098Vn+100
J'ai fait
Vn+1=Vn-2/100Vn+100
= 0.98Vn+100

2- Démontrer que la suite Un définie pour tout entier naturel n par Un=Vn-5000 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
J'ai commencé ainsi
Un=Vn-5000
Un+1=Vn+1-5000
=0.98Vn+100-5000
=0.98Vn-4900

et la je bloque

3- Exprimer Un puis Vn en fonction de n

Merci à vous pour votre aide car j'ai encore d'autres questions à traiter à la suite de celles-ci


modifié par : mtschoon, 13 Sep 2017 - 08:09
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Envoyé: 12.09.2017, 09:21

Modératrice


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dernière visite: 23.09.17
Bonjour,

Je suppose que tu n'as pas écrit toutes les données car il n'y a pas d'explication sur ce "+100" ...

J'admets donc (sans preuve) que  V_{n+1}=0.98V_n+100

Piste pour la 2)

Tes calculs sont justes mais il faut continuer en exprimant Vn en fonction de Un

U_n=V_n-5000 donc V_n=U_n+5000

d'où

U_{n+1}=0.98V_n-4900=0.98(U_n+5000)-4900

Tu développes, tu simplifies et tu dois trouver

U_{n+1}=0.98U_n

(Un) est la suite géométrique de premier terme U0 (que tu calcules) et de raison 0.98

Tu pourras écrire que U_n=U_0(0.98)^n puis en déduire l'expression de Vn en fonction de n

Essaie de poursuivre.
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Envoyé: 12.09.2017, 20:34

Voie lactée
VEROTIL

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Bonsoir

Donc pour Vn je trouve
= -3920*0.98n+5000

Ensuite j'ai 2 dernières questions et là je ne sais pas du tout comment les traiter

- Expliquer pourquoi l'intervalle ]4500:5500[ contient tous les termes Vn à partir d'un certain rang à préciser
Pour info dans une de mes premières questions, j'ai du calculer les valeurs jusque N=200

- Rédiger un algo donnant le rang à partir duquel les termes Vn appartiennent à un intervalle du type ]5000-a;5000+a[ où a est un réel positif

Encore merci à vous
Top 
Envoyé: 13.09.2017, 08:02

Modératrice


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dernière visite: 23.09.17
Je ne comprends pas la valeur -3920 que tu donnes .

D'après ton énoncé, V_0=1000 et U_n=V_n-5000 d'où U_0=V_0-5000

Au final, U_0=1000-5000=-4000

Cela change l'expression de Vn

Vérifie cela avant de poursuivre les questions.
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Envoyé: 13.09.2017, 16:31

Voie lactée
VEROTIL

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bonsoir

oui je me suis trompée

Vn=-4000+5000=1000

pouvez vous m 'aider pour les suivantes
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Envoyé: 13.09.2017, 18:44

Modératrice


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dernière visite: 23.09.17
Idée pour l'intervalle I=]4500,5500[

V_n=-4000(0.98)^n+5000

Cette suite est à termes positifs, croissante;
Lorsque n tend vers +∞, 0.98n tend vers 0 donc Vn tend vers 5000.
Pour des grandes valeurs de n, Vn appartient donc à un intervalle centré sur 5000.
A vrai dire, Vn appartient à la partie gauche de cet intervalle I.

Ma calculette me donne
V102≈4490,5
V103≈4500,7

Donc Vn appartient à I pour n ≥ 103

Vérifie avec ta calculette.

Idée pour l'algorithme avec I=]5000-a,5000+a[

Vn sera dans la partie gauche de l'intervalle (raison indiquée précédemment)

Pour faire simple, la condition Vn > 5000-a sera suffisante.

Inspire toi de l'algorithme donné dans l'énoncé de ton précédent exercice.

Je te joins un algorithme possible fait avec Algobox ( gratuit et que tu peux télécharger). Il est commode car on peut tester l'algorithme et voir ainsi les erreurs éventuelles.
Evidemment, écris l'algorithme avec les habitudes de ton professeur.

fichier math

Bon travail !
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Envoyé: 13.09.2017, 19:02

Voie lactée
VEROTIL

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Ok merci pour votre aide

je vais essayer de refaire un algo

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Envoyé: 13.09.2017, 22:45

Modératrice


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De rien !

A+
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