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Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
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quelques equations prépa-Sup

  - catégorie non trouvée dans : Supérieur
Envoyé: 03.09.2017, 23:39

Constellation


enregistré depuis: janv.. 2017
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Bonsoir,

j 'ai fais quelques exercices avec des équations, plutôt simple à première vue.Mon ennui c 'est que la 2 , beaucoup de gymnastique pour arriver à bout.J'aurai besoin d'une petite correction.je vous remercie par avance.

1)résoudre ds R^2\

\begin{cases} x+{ e }^{ x }=y+e^{ y } \\ x^{ 2 }+xy+y^{ 2 }=27 \end{cases}\quad \quad \\ \\ \quad



soit,

\begin{cases} x+{ e }^{ x }=y+e^{ y } \\ x^{ 2 }+xy+y^{ 2 }=27 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left( x-y \right) ^{ 2 }=\left( e^{ y }-e^{ x } \right) ^{ 2 } \\ \left( x-y \right) ^{ 2 }+3xy=27 \end{cases}\\ \


on sait que:  x\left| \longrightarrow  \right\ x+e^{ x }\quad \quad \quad \quad f'\left( x \right) >\quad 0\quad \quad  donc strictement croissante
donc\\ x=y\\

ainsi,

3xy=27\\ \\ x=y=\begin{matrix} + \\ - \end{matrix}\sqrt { \frac { 27 }{ 3 }  } =3



2)


Résoudre ds R , { x }^{ \sqrt { x }  }=\frac { 1 }{ 2 }


soit  { x }^{ \sqrt { x }  }=\frac { 1 }{ 2 } \Leftrightarrow \quad { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }=\frac { 1 }{ 2 }



\Leftrightarrow \left( { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right) ^{ { \frac { 1 }{ 2 }  } }=\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 }  }

 \\ \Leftrightarrow \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ { \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  } }=\quad { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }

on sait aussi que  { p }^{ p }\quad ={ a }^{ a }\quad \Leftrightarrow \quad p=a\ donc \quad { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }=\sqrt { x } =\frac { 1 }{ 2 }


x=\frac { 1 }{ 4 }


il existe une seconde solution


{ x }^{ \sqrt { x }  }=\frac { 1 }{ 2 } \Leftrightarrow \quad { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }=\frac { 1 }{ \sqrt { 4 }  }

\Leftrightarrow \

\left( { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right) ^{ { \frac { 1 }{ 2 }  } }=\left( \frac { 1 }{ 4 } ^{ ^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 }  }

\Leftrightarrow \


{ \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  }^{ { \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  } }=\quad { \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }

donc,

x=\left( \frac { 1 }{ 4 }  \right) ^{ 2 }

modifié par : mtschoon, 05 Sep 2017 - 16:30
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Envoyé: 04.09.2017, 19:38

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Bonsoir Sophie,

OK pour le 1)

Pour le 2), tes calculs sont bons.
Effectivement, cette équation laisse perplexe.
je n'ai pas d'idée pertinente...

Le mieux me semble-t-il est d'écrire 1/2 sous la forme a√a pour pouvoir trouver pour solution x=a

\frac{1}{2}=\(\frac{1}{4}\)^{\frac{1}{2} d'où \frac{1}{4} solution

\frac{1}{2}=\(\frac{1}{16}\)^{\frac{1}{4} d'où \frac{1}{16} solution

Ce sont les solutions que tu as trouvées.

Pour être rigoureux, il faut prouver que ce sont les seules.

Pour cela, l'étude de la fonction f définie par f(x)=x^{\sqrt x} convient.

Sur ]0,+∞[, f définie, dérivable don continue
Maximum valant e-2/e (≈0.479) pour x=e-2 (≈0.135)

En utilisant le TVI sur deux intervalles on prouve qu'il y a exactement 2 solutions.

Bonne rentrée !

modifié par : mtschoon, 05 Sep 2017 - 16:30
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Envoyé: 04.09.2017, 21:02

Constellation


enregistré depuis: janv.. 2017
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merci, :)
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Envoyé: 05.09.2017, 10:25

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