Problème calcul nombres complexes

ReBojour,

Je suis toujours sur le même DM et j'ai un blocage sur une relation qu'il faut établir.
Voici l'énoncé :
On a un plan complexe avec un repère.

Za = 1-i Zb = 1 + i Zc= -1+i

puis on nous affirme un résultat : l'affixe de l'image d'un point M (d'affixe zM ) par la rotation r centrée en l'origine O et d'angle alpha ∈ ]0;2π[ s'écrit : Zr(m) = $Zme^{ialpha}$

Puis on pose $θ\theta$ ∈ ]0,2π[ distinct de pi et on note M le point d'affixe Zm = 1+ $ie^{iteta}$

Une des questions est : Exprimer Zr(m) en fonction de Zm et déterminer en fonction de teta les affixes $Z_{vecteur}$ (BM) et $Z_{vecteur}$ (Br(m))

Ducoup j'ai résolu Zbm = Zm - Zb = 1+ $ie^{iteta}$ - (1+i)
= 1 + i(cos ( $θ\theta$ ) + isin( $θ\theta$ ) ) -1 -i
= icos( $θ\theta$ ) -sin( $θ\theta$ ) -i
= -sin( $θ\theta$ )+ i(cos $θ\theta$ ()-1)

Après j'ai exprimé Zr(m) en fonction de Zm sachant que dans les question précédentes j'ai trouvé alpha= pi/2
Zr(m) = Zm × $e^{ialpha}$
= Zm × (cos (pi/2) + isin(pi/2)
= Zm × (0 + i)
= Zm × i

Donc je cherche
$Z_{vecteur}$ (Br(m)) = Zr(m) - Zb
= (Zm × i) -1 -i
= $1+ie^{iteta}$ ) x i ) -1-i
= ((1+icos( $θ\theta$ ) -sin( $θ\theta$ ) ) x i ) -1-i
= i -cos( $θ\theta$ ) -isin( $θ\theta$ ) -1 -i
= -1 -cos( $θ\theta$ ) -isin( $θ\theta$ )

Alors j'èspère que mes calculs sont justes car enfaite la question où je bloque il faut établir la relation suivante : $Z_{vecteur}$ (BM) = $Z_{vecteur}$ (Br(M)) × tan ( $θ\theta$ /2)
ET là j'ai beau transformer dans tous les sens je vois rien.
J'ai essayé de changer tan() en sin() / cos() mais bon le teta/2 me bloque.

Alors soit je ne vois pas la transformation à faire, soit mes résultats des affixes de vecteurs sont faux soit mon angle alpha est faux mais du coup je dois refaire l’exercice.
J’espère que c'est clair pour vous, j'aimerais si possible avoir une piste de recherche mais pas une réponse car cela reste quand même un DM.
Cordialement,

Bonjour,

J'ai eu quelques peines à dépouiller tes écritures mais je pense y être arrivée...

Tes calculs sont justes mais pour obtenir le résultat escompté, il ne faut pas transformer en sinus et cosinus.

Garde les expressions en $eiθe^{i\theta}$

Ensuite, vu que tu veux un résultat en $tanθ2tan\frac{\theta}{2}$ , pense à mettre $eiθ2e^{i\frac{\theta}{2}}$ en facteur.

Grâce aux formules d'Euler, tu pourras ainsi faire apparaître $tanθ2tan\frac{\theta}{2}$

Je ne détaille pas plus pour que tu puisses y arriver seul.

Cet exercice est tout à fait dans l'esprit Sup-Fac.

Reposte si besoin.

Bon je suis toujours au même stade..

J'ai laissé en exponentielle avec les téta ducoup j'ai :

$Z_{BM}$ = $ie^{i$\tiny \theta$}$ - i
$Z_{Br(M)}$ = $-e^{i$\tiny \theta$}$ - 1

J'ai cherché les formules d'Euler et même en factorisant $e^{i$\tiny \theta$}$ en $(e^{i$\tiny \theta /2$}$ × $(e^{i$\tiny \theta /2$}$)
Je ne vois pas le lien car si on multiplie le -1 dans ZBr(M) par tan( $θ\theta$ /2) comment on peut arriver à -i.
Le problème est que je ne vois pas comment utiliser la formule d'Euler je pense ou ma vue ne doit pas être assez élargie sur le problème.

Piste pour avancer,

J'appelle Q le quotient $\frac{z_{\vec{bm}}}{z_{\vec{br(m)}}$

$q=ieiθ−i−e−iθ−1q=\frac{ie^{i\theta}-i}{-e^{-i\theta}-1}$

$q=eiθ/2(ieiθ/2−ie−iθ/2)eiθ/2(−ieiθ/2−ie−iθ/2)q=\frac{e^{i\theta/2} (ie^{i\theta/2}-ie^{-i\theta/2})}{e^{i\theta/2}(-ie^{i\theta/2}-ie^{-i\theta/2})}$

Tu simplifies par $eiθ/2e^{i\theta/2}$

Grâce aux formules d'Euler, tu calcules $tan(θ/2)tan(\theta/2)$ en passant par $sin(θ/2)sin(\theta/2)$ et $cos(θ/2)cos(\theta/2)$ et après quelques transformations , tu dois trouver

$tan(\theta/2)$ , d'où la réponse souhaitée.

Merci pour votre temps, je n'ai eu besoin que de la première ligne pour comprendre, je vais pouvoir finir tout seul.

C'est bien.
Bon travail et ne te gène pas si tu as un blocage .