Suites et Séries


  • A

    Bonjour,
    J'ai à calculer ∑n≥1[sin(1/n(n+1))]/[cos(1n)cos(1n+1)]\sum_{n\geq1 }{[sin(1/n(n+1))]/[{cos(\frac{1}{n})cos(\frac{1}{n+1}) }}]n1[sin(1/n(n+1))]/[cos(n1)cos(n+11)]
    Je décompose le terme dans le sinus sin(1/n(n+1))=sin(1n−1n+1)sin(1/n(n+1))=sin(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})sin(1/n(n+1))=sin(n1n+11),j'utilise l'identité sin(A-B) dans le terme général Un,alors j'obtiens à la fin après simplification Un=tan(1/n)-tan(1/(n+1))
    Après utilisation de la somme télescopique un=vn+1−vnu_n=v_{n+1}-v_nun=vn+1vn,est-ce normal que la somme est égal à -tan(1/2)?
    Merci d'avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Tout à fait d'accord pour tes transformations qui amènent à

    $\bigsum_{n \ge 1}( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})$

    Il doit y avoir un problème avec la somme télescopique.

    Tu aurais dû poser un=vn−vn+1u_n=v_n-v_{n+1}un=vnvn+1 avec , pour tout n ≥ 1, vn=tan1nv_n=tan\frac{1}{n}vn=tann1

    $\bigsum_{n =1}^{n=n} ( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})=v_1-v_{n+1}=tan1-tan\frac{1}{n+1}$

    Lorsque N tend vers +∞, tan1n+1tan\frac{1}{n+1}tann+11 tend vers 0, d'où

    $\bigsum_{n \ge 1}( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})=tan1$


  • A

    Merci beaucoup!Peut-on donc toujours intervertir V_n et V_n+1 dans la différence?


  • mtschoon

    Tout dépend des expressions précédemment trouvées.
    Il faut adapter les notations au contexte.

    Ici, en posant, pour tout n, vn=tan1nv_n=tan\frac{1}{n}vn=tann1

    Forcément vn+1=tan1n+1v_{n+1}=tan\frac{1}{n+1}vn+1=tann+11

    Donc :

    tan1n−tan1n+1=vn−vn+1tan\frac{1}{n}-tan \frac{1}{n+1}=v_n-v_{n+1}tann1tann+11=vnvn+1


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