nombres complexes-orthocentre


  • A

    Bonsoir ,

    Dans le plan complexe, on donne trois points non alignés A(a),B(b) et C(c) tels que ∣a∣=∣b∣=∣c∣\left|a \right|=\left|b \right|=\left|c \right|a=b=c.
    Que représente le point H d'affixe a+b+c pour le triangle ABC ?

    Tout d'abord je me suis aidée du logiciel Géogebra pour représenter la figure à l'exception du point H.
    Je me suis dit que le point H pouvait être soit un centre de cercle circonscrit , de cercle inscrit , un centre de gravité ou soit un orthocentre.

    À l'aide de la figure sur geogebra j'ai constaté que OA=OB=OC donc O est le centre du cercle circonscrit à ABC . Cela reviendrait à dire que OA²=OB²=OC² ⇔∣zoa∣\left|zoa \right|zoa²=∣a∣\left|a \right|a²=aaˉa\bar{a}aaˉ
    De même pour OB² =bbˉb\bar{b}bbˉ et OC²=ccˉc\bar{c}ccˉ
    Ainsi on obtient aaˉ=bbˉ=ccˉa\bar{a}=b\bar{b}=c\bar{c}aaˉ=bbˉ=ccˉ
    Après je ne sais pas quoi faire de cela ...

    Ensuite j'ai voulu étudier le point H par rapport à A ,B et C en calculant z(AH),z(BH) et z(CH)

    Je suis un peu perdue dans mes recherches , pouvez me dire si je suis sur la bonne piste ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Elle est bizarre ta question,posée de façon isolée...

    Oui, O est centre du cercle circonscrit au triangle ABC, vu que OA=OB=OC

    H est l'orthocentre de ce triangle ABC mais pour le démontrer sans enchaînement logique indiqué, ce n'est pas évident !

    Cela est l'exercice 2 du Bac S de juin 2007 à Alger (enseignement obligatoire) mais il y a plusieurs questions intermédiaires qui permettent de faire la démonstration.
    Je suis surprise que ton énoncé ne te donne pas toutes ces questions intermédiaires...? ? ?

    Idée :

    $(\vec{cb},\vec{ah})=arg(\frac{z_h-z_a}{z_b-z_c})=arg({\frac{b+c}{b-c})$

    Il faut ensuite justifier queb+cb−c\frac{b+c}{b-c}bcb+c est imaginaire pur donc que son argument vaut ∏/2 [∏]

    Donc (ah)⊥(bc)(ah) \perp (bc)(ah)(bc)

    Sans le faire, vu qu'il s'agit seulement d'un changement de notations (permuatation circulaire sur les lettres A B C)

    (bh)⊥(ca)(bh) \perp (ca)(bh)(ca)

    (ch)⊥(ab)(ch) \perp (ab)(ch)(ab)

    Donc H orthocentre du triangle ABC

    Je te joins l'énoncé complet et la correction associée.
    Regarde si cela peut t'être utile.


  • mtschoon

    https://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProblemesBac/AnnalesThematiques/Complexes/BacS_Juin2007_Obligatoire_Alger_Exo2_Enonce.pdf

    Remarque : Il y a une faute de transcription à la question III 3)b)
    Il faut lire k∈zk \in zkz


  • mtschoon


  • A

    Bonjour ,
    et non mon énoncé ne me donne rien vu qu'il s'agit d'une narration de recherches...


  • mtschoon

    S'il s'agit de recherches, tu peux j'espère utiliser les liens fournis...


  • A

    merci beaucoup du lien mais j'ai du mal à comprendre la démonstration que b+cb−c\frac{b+c}{b-c}bcb+c soit un imaginaire pur avec w d'après le corrigé


  • mtschoon

    Si ta difficulté est pour prouver que w est imaginaire pur , tu peux utiliser la propriété suivante :
    un complexe est imaginaire pur si et seulement si son conjugué est égal à son opposé.

    w=bˉc−bcˉw=\bar{b}c-b\bar{c}w=bˉcbcˉ

    donc −w=−bˉc+bcˉ-w=-\bar{b}c+b\bar{c}w=bˉc+bcˉ

    Avec les propriétés de conjugués : wˉ=bcˉ−bˉc\bar{w}=b\bar{c}-\bar{b}cwˉ=bcˉbˉc

    d'où la réponse.


  • A

    Mais pourquoi w=bˉc−bcˉ\bar{b}c-b\bar{c}bˉcbcˉ?


  • mtschoon

    L'énoncé du Bac S 2007 donnait des questions intermédiaires , dont l'utilisation de bˉc−bcˉ\bar{b}c-b\bar{c}bˉcbcˉ, pour arriver à prouver, de façon commode, que H est orthocentre.

    Evidemment, vu que tu n'as de questions, tu peux inventer une autre méthode si tu le souhaites.


  • A

    Je ne pense pas avoir de méthode plus efficace et plus simple donc je vais essayer de m'inspirer de ce corrigé
    Mais merci quand même ...


  • mtschoon

    Je veux bien te proposer une autre méthode pour prouver que b+cb−c\frac{b+c}{b-c}bcb+c est imaginaire pur sans passer par w auquel tu n'aurais pas pensé si ce n'était pas écrit dans l'énonce du Bac, mais ce n'est pas si simple que ça...à toi de voir.

    Idée : Utiliser las formes exponentielles et les formules d'Euler

    b=reiβb=re^{i\beta}b=reiβ
    c=reiγc=re^{i\gamma}c=reiγ

    Après simplification par r:

    $\frac{b+c}{b-c}=\frac{e^{i\beta}+e^{i\gamma}}{e^{i\beta}-e^{i\gamma}$

    Après, il faut transformer (et c'est de la véritable gymnastique ! )

    Tu mets eiβe^{i\beta}eiβ en facteur

    b+cb−c=eiβ(1+ei(γ−β))eiβ(1−ei(γ−β))\frac{b+c}{b-c}=\frac{e^{i\beta}(1+e^{i(\gamma-\beta)})}{e^{i\beta}(1-e^{i(\gamma-\beta)})}bcb+c=eiβ(1ei(γβ))eiβ(1+ei(γβ))

    Tu simplifies ensuite par eiβe^{i\beta}eiβ

    Pour alléger les notations, je pose θ=γ−β\theta=\gamma-\betaθ=γβ

    b+cb−c=1+eiθ1−eiθ\frac{b+c}{b-c}=\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}bcb+c=1eiθ1+eiθ

    Ensuite, tu mets eiθ2e^{i\frac{\theta}{2}}ei2θ en facteur au numérateur et dénominateur et tu simplifies

    En utilisant les formules d'Euler et après simplifications, sauf erreur, tu dois trouver :

    b+cb−c=cos⁡θ2isin⁡θ2\frac{b+c}{b-c}=\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{i\sin\frac{\theta}{2}}bcb+c=isin2θcos2θ

    D'où

    b+cb−c=icos⁡θ2−sin⁡θ2\frac{b+c}{b-c}=\frac{i\cos\frac{\theta}{2}}{-\sin\frac{\theta}{2}}bcb+c=sin2θicos2θ

    Donc b+cb−c\frac{b+c}{b-c}bcb+c imaginaire pur.

    Ce n'est pas simple...tu as le choix : utiliser l'outil w ou faire directement les calculs proposés...

    Bon courage !


  • A

    wouah c'est vraiment technique et intéressant d'avoir eu recours aux formes exponentielles mais je pense que je vais rester sur le choix de l'outil w
    Je vous remercie beaucoup ! 🙂


  • mtschoon

    Effectivement, cette gymnastique n'est pas simple.
    On l'utilise souvent en Post-bac mais elle est de niveau Terminale vu que les propriétés utilisées sont au programme de TS.

    Je pense que ceux qui ont fait l'énoncé du Bac on utilisé w pour l'éviter à l'examen...

    Bon travail !


  • A

    Merci !


  • mtschoon

    De rien !

    A+


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