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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

intégration pour calculer la longueur d'un arc de courbe

- classé dans : Intégrales & Primitives

Envoyé: 13.05.2017, 21:14

Constellation


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bonsoir

Je m'interroge sur le lien qu'il peut y avoir entre la longueur d'une courbe et le calcul intégral.?Cette notion de longueur est abordé ,dans un exercice plutôt original supposé difficile.

merci, par avance.

modifié par : mtschoon, 13 Mai 2017 - 23:03
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Envoyé: 13.05.2017, 23:01

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Bonsoir,

Je pense que tu parles de la courbe d'équation y=f(x) continue sur [a,b] et que tu cherches la longueur de l'arc de courbe AB avec A(a,f(a)) et B(b,f(b))

Cette longueur vaut  \Bigint_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx

Je te mets un lien pour le calcul (basé sur le théorème de Pythagore) .
Regarde le cas "coordonnées cartésiennes"
Il y a la démonstration et un exemple d'application.

http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch08/co/apprendre_ch08_14.html
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Envoyé: 14.05.2017, 09:54

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Une remarque

Si tu veux t'entraîner en faisant le calcul de le longueur relative à la chaînette, tu n'as pas besoin d'utiliser les formules relatives aux sinus et cosinus hyperboliques (car en Terminale, on ne les connait pas).

Prends les expressions exponentielles

f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

Soit l la longueur cherchée (entre x=0 et x=1)

l=\Bigint_0^1 \sqrt{1+\(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)^2}dx

Après développements et transformations, tu dois trouver

l=\frac{1}{2}\Bigint_0^1 \sqrt{(e^x+e^{-x}\)^2}dx

l=\frac{1}{2}\Bigint_0^1 (e^x+e^{-x})dx

l=\frac{1}{2}\[(e^x-e^{-x}\]_0^1

D'où

l=\frac{1}{2}(e+e^{-1})

Bon calcul.
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Envoyé: 14.05.2017, 13:48

Constellation


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merci mtschoon


oui effectivement ,je tombe bien sur cet expression c'est d'ailleurs un bon entrainement .

à première vue,le problème à l'air est plus difficile .

Je vous le transmettrai en fin de jrnée

En attendant, bonne fin de jrnée.

bon dimanche à vous
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Envoyé: 14.05.2017, 19:06

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D'accord pour la suite...
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Envoyé: 14.05.2017, 19:45

Constellation


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Bonsoir

l'exercice est le suivant: original :)

Un câble électrique est suspendu sur deux pylônes de même hauteur et distants de de d en dam.Un aigle atterrit sur ce fil à 20 mètre du pylône gauche et aperçois un faucon coincé à l’extrémité Est de ce câble. La forme géométrique du câble est une tresse hélicoïdale On admet qu’elle a pour
équation :

f\left( x \right) =\ln { \left( \frac { 1+{ e }^{ x } }{ e^{ x }-1 }  \right)  } et  x\in [1,10]


-Trouver la longueur du chemin l à parcourir par l’aigle pour capturer le faucon.

soit

f\left( x \right) =\ln { \left( \frac { 1+{ e }^{ x } }{ e^{ x }-1 }  \right)  }  \\

ainsi,

  f'\left( x \right) =\frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }+1 } -\frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }-1 } =e^{ x }\frac { \left( e^{ x }-1-\left( e^{ x }+1 \right)  \right)  }{ { e }^{ 2x }-1 } \\



après simplification,

\sqrt { 1+f'\left( x \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 1+\left( \frac { -2{ e }^{ x } }{ { e }^{ 2x }-1 }  \right) ^{ 2 } } =\left| \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 }  \right| \\



sur  [1,10] la quantité  \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } >0




\frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } =1+\frac { 2 }{ { e }^{ 2x }-1 } =1+\frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } -\frac { 1 }{ { e }^{ x }+1 }   \\


car la solution est evidente \\ \quad \quad a\left( { e }^{ x }+1 \right) +a'\left( { e }^{ x }-1 \right) =2\ \\  \\  \\  \\  \\  a'=-1\quad a=1\\

de même

\\ \\ \quad \\ \frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } -\frac { 1 }{ { e }^{ x }+1 } =\frac { 1 }{ { e }^{ x } }( \left( \frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ { e }^{ x } }  }  \right) \quad -\left( \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ { e }^{ x } }  }  \right) )\\ \\

après simplification

  \int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 }  } d\left( x \right) =x+\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ -x } }{ 1-{ e }^{ -x } }  } +\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ -x } }{ 1+{ e }^{ -x } }  } \\


 \\ \\ \left[ x+\ln { \left( \left| 1-{ e }^{ -x } \right|  \right)  } +\ln { \left( \left| 1+{ e }^{ -x } \right|  \right)  }  \right] \begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}\quad \\


 \\ \\ \left[ x+\ln { \left( \left| 1-{ e }^{ -2x } \right|  \right)  }  \right] \begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}

l=8.01dam arrondi,


bonne soirée,



modifié par : sophie90, 14 Mai 2017 - 20:14
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Envoyé: 14.05.2017, 23:14

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C'est bon.

Ma calculatrice me renvoit 8,01849 , donc 8.01 est valeur approchée par défaut.
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Envoyé: 15.05.2017, 08:32

Constellation


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merci,

bonne journée
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Envoyé: 15.05.2017, 10:08

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De rien !

Bonne semaine.
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