intégration pour calculer la longueur d'un arc de courbe


  • S

    bonsoir

    Je m'interroge sur le lien qu'il peut y avoir entre la longueur d'une courbe et le calcul intégral.?Cette notion de longueur est abordé ,dans un exercice plutôt original supposé difficile.

    merci, par avance.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Je pense que tu parles de la courbe d'équation y=f(x) continue sur [a,b] et que tu cherches la longueur de l'arc de courbe AB avec A(a,f(a)) et B(b,f(b))

    Cette longueur vaut $\bigint_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

    Je te mets un lien pour le calcul (basé sur le théorème de Pythagore) .
    Regarde le cas "coordonnées cartésiennes"
    Il y a la démonstration et un exemple d'application.

    http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch08/co/apprendre_ch08_14.html


  • mtschoon

    Une remarque

    Si tu veux t'entraîner en faisant le calcul de le longueur relative à la chaînette, tu n'as pas besoin d'utiliser les formules relatives aux sinus et cosinus hyperboliques (car en Terminale, on ne les connait pas).

    Prends les expressions exponentielles

    f(x)=ex+e−x2f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}f(x)=2ex+ex

    f′(x)=ex−e−x2f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}f(x)=2exex

    Soit l la longueur cherchée (entre x=0 et x=1)

    $l=\bigint_0^1 \sqrt{1+(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2}dx$

    Après développements et transformations, tu dois trouver

    $l=\frac{1}{2}\bigint_0^1 \sqrt{(e^x+e^{-x})^2}dx$

    $l=\frac{1}{2}\bigint_0^1 (e^x+e^{-x})dx$

    l=12[(ex−e−x]01l=\frac{1}{2}[(e^x-e^{-x}]_0^1l=21[(exex]01

    D'où

    l=12(e+e−1)l=\frac{1}{2}(e+e^{-1})l=21(e+e1)

    Bon calcul.


  • S

    merci mtschoon

    oui effectivement ,je tombe bien sur cet expression c'est d'ailleurs un bon entrainement .

    à première vue,le problème à l'air est plus difficile .

    Je vous le transmettrai en fin de jrnée

    En attendant, bonne fin de jrnée.

    bon dimanche à vous


  • mtschoon

    D'accord pour la suite...


  • S

    Bonsoir

    l'exercice est le suivant: original 🙂

    Un câble électrique est suspendu sur deux pylônes de même hauteur et distants de deddd en dam.Un aigle atterrit sur ce fil à 20 mètre du pylône gauche et aperçois un faucon coincé à l’extrémité Est de ce câble. La forme géométrique du câble est une tresse hélicoïdale On admet qu’elle a pour
    équation :

    f(x)=ln⁡(1+exex−1)f\left( x \right) =\ln { \left( \frac { 1+{ e }^{ x } }{ e^{ x }-1 } \right) }f(x)=ln(ex11+ex) et x∈[1,10]x\in [1,10]x[1,10]

    -Trouver la longueur du cheminlll à parcourir par l’aigle pour capturer le faucon.

    soit

    $f\left( x \right) =\ln { \left( \frac { 1+{ e }^{ x } }{ e^{ x }-1 } \right) } \$

    ainsi,

    $f'\left( x \right) =\frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }+1 } -\frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }-1 } =e^{ x }\frac { \left( e^{ x }-1-\left( e^{ x }+1 \right) \right) }{ { e }^{ 2x }-1 } \$

    après simplification,

    $\sqrt { 1+f'\left( x \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 1+\left( \frac { -2{ e }^{ x } }{ { e }^{ 2x }-1 } \right) ^{ 2 } } =\left| \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } \right| \$

    sur [1,10][1,10][1,10] la quantité $\frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } >0$

    $\frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } =1+\frac { 2 }{ { e }^{ 2x }-1 } =1+\frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } -\frac { 1 }{ { e }^{ x }+1 } \$

    car la solution est evidente $\ \quad \quad a\left( { e }^{ x }+1 \right) +a'\left( { e }^{ x }-1 \right) =2\ \ \ \ \ \ a'=-1\quad a=1\$

    de même

    $\ \ \quad \ \frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } -\frac { 1 }{ { e }^{ x }+1 } =\frac { 1 }{ { e }^{ x } }( \left( \frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ { e }^{ x } } } \right) \quad -\left( \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ { e }^{ x } } } \right) )\ \$

    après simplification

    $\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } } d\left( x \right) =x+\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ -x } }{ 1-{ e }^{ -x } } } +\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ -x } }{ 1+{ e }^{ -x } } } \$

    $\ \ \left[ x+\ln { \left( \left| 1-{ e }^{ -x } \right| \right) } +\ln { \left( \left| 1+{ e }^{ -x } \right| \right) } \right] \begin{matrix} 10 \ 2 \end{matrix}\quad \$

      [x+ln⁡(∣1−e−2x∣)]10 2\ \ \left[ x+\ln { \left( \left| 1-{ e }^{ -2x } \right| \right) } \right] \begin{matrix} 10 \ 2 \end{matrix}  [x+ln(1e2x)]10 2

    l=8.01l=8.01l=8.01dam arrondi,

    bonne soirée,


  • mtschoon

    C'est bon.

    Ma calculatrice me renvoit 8,01849 , donc 8.01 est valeur approchée par défaut.


  • S

    merci,

    bonne journée


  • mtschoon

    De rien !

    Bonne semaine.


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