Forme algébrique des nombres complexes


  • A

    Bonjour,
    L'énoncé de cet exercice est que je dois écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

    A= 3eiπ2e^{\frac{i\pi }{2}}e2iπ = 3i

    B=3ei5π6\sqrt{3}e^{\frac{i5\pi }{6}}3e6i5π
    on a θ=5π6\theta = \frac{5\pi }{6}θ=65π
    Donc 3ei5π6\sqrt{3}e^{\frac{i5\pi }{6}}3e6i5π= 3\sqrt{3}3 (cos(5π6\frac{5\pi }{6}65π)+ sin ((5π6\frac{5\pi }{6}65π)
    je bloque après...
    Je sais que cos5pi/6 et sin 5pi/6 ca correspond à -√3/2 et 1/2 mais c'est le racine de carrée de 3 devant qui me gène ...

    C= 22ei7π4\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{i7\pi }{4}}22e4i7π

    D= (1+i√3)⁵+(1-i√3)⁵

    Pourriez vous m'apporter de l'aide svp ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour A , c'est bon.

    Pour B, ce que tu indiques est exact ; il te reste à terminer le calcul.

    Tu dois trouver

    b=−32+32ib=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}ib=23+23i

    Pour C, tu appliques la même démarche que pour B (angle remarquable)

    Pour D, développer les expressions à la puissance 5 est faisable mais ce n'est pas bien commode...

    Je te conseille de passer par la forme exponentielle de 1+i√3 et de 1-i√3

    Pour que tu puisses vérifier, je t'indique les réponses au C et au D

    Sauf erreur,

    c=12−12ic=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ic=2121i

    d=32d=32d=32


  • A

    Alors pour le B c'est bon

    Pour le C , 7π4=−π4\frac{7\pi }{4} = -\frac{\pi }{4}47π=4π
    donc 22ei7π4=22(cos−π4+sin−π4)=22(2222−2222)\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{i7\pi }{4}}= \frac{\sqrt{2}}{2}(cos-\frac{\pi }{4}+sin-\frac{\pi }{4})= \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})22e4i7π=22(cos4π+sin4π)=22(22222222)
    Mais ca me donne 1 ...


  • A

    Et pour le D c'est bon je trouve bien 32 : )


  • mtschoon

    Revois C

    Le "i" a disparu et les dénominateurs sont très bizarres...

    c=22(22−22i)=...............c=\frac{\sqrt 2}{2}(\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2 }i)=...............c=22(2222i)=...............* Tu termines.*


  • A

    ah d'accord merci beaucoup : )


  • mtschoon

    De rien ! Bon travail.


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