équations (et inéquation) trigonométriques

Bonjour ,

j'ai un problème pour résoudre des équations trigonométriques . Le voici :

cos(3x+π/6) = cos(x-π/3) dans R.
cos(x+π/3) = sin(2x) dans [0;2π]
3)-√3/2 ≤ sin(2x) ≤ -1/2 dans [0;2π]
4)4cos(x)²-2(√3+1)cos(x)+√3=0 dans R

Pour la 1) , j'ai trouvé -π/4 et pour les autres , je suis bloquer et je ne sais pas quel méthode utiliser , merci pour votre aide

Bonjour,

J'ai l'impression que tu as QUATRE problèmes ( pas UN) !

Piste pour la 1)

La valeur -∏/4 est exacte mais on te demande toutes les solutions sur R , par une seule.

Principe (regarde ton cours) :

cosa=cosb <=> a=b+2k∏ ou a=-b+2k∏ (k entier)

Tu as donc deux équations à résoudre , en remplaçant a par 3x+∏/6 et b par x-∏/3

Tiens nous au courant si besoin.

Pour la 1)

cos(a) = cos(b) si et seulement si il existe k ∈ Z tel que b = a + 2kπ ou il existe k ∈ Z tel que b = −a + 2kπ
• sin(a) = sin(b) si et seulement si il existe k ∈ Z tel que b = a + 2kπ ou il existe k ∈ Z tel que b = π − a + 2kπ

3x+π/6=x-π/3 + 2kπ ou 3x+π/6= -(x-π/3) + 2kπ

pour la première solution j'ai bien trouvé -π/4 , et la deuxième π/24

Est ce correct ?

Pour la réponse 2)

j'ai utilisé l'identité : cos (x) = sin(∏/2+x)

J'ai trouver les solutions ci ,$\textit\frac{x=12n\pi +\pi}{6} ; \frac{x=12n\pi+\pi}{18}$

Est ce que cela est correct ?

Je regarde ta 1) que tu as modifiée

Ce n'est pas "il existe k" c'est "pour tout k , k appartenant à Z

Après calculs et simplifications, je t'indique les réponsesde la 1)

$x=−π4+kπx=-\frac{\pi}{4}+k\pi$

$x=π24+2kπ4=π24+kπ2x=\frac{\pi}{24}+\frac{2k\pi}{4}=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}$

Pour la question 3) , je ne sais pas du tout comment procéder , comment faire ?

Ne brule pas les étapes !

Je regarde tes réponses à la 2)

Tu peux utiliser la formule proposée.

Cela te donne pour équation à résoudre :

$sin⁡(π2+x+π3)=sin⁡2x\sin(\frac{\pi}{2}+x+\frac{\pi}{3})=\sin 2x$

c'est à dire

$sin⁡(x+5π6)=sin2x\sin(x+\frac{5\pi}{6})=sin2x$

Vérifie ta première réponse écrite

Sauf erreur, pour tout k de Z

$x=5π6−2kπx=\frac{5\pi}{6}-2k\pi$

$x=π18+2kπ3x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}$

Ce n'est pas fini !

L'énoncé te demande les solutions sur [0,2∏]

Il faut donc que tu trouves les solutions sur cet intervalle (cherche les valeurs de k qui conviennent)

Piste pour la 3)

Travaille par lecture graphique avec le cercle trigonométrique et les angles remarquables ayant pour sinus -1/2 et -√3/2

Place les points M et M' du cercle trigonométrique d'ordonnées -1/2
Place les points N et N' du cercle trigonométrique d'ordonnées -√3/2

Les solutions cherchées , pour 2x, sont représentées par les secteurs colorés du schéma joint.

$fichier math$

Lorsque tu auras les réponses pour 2x ( sur [0,4∏], tu en déduiras les solutions pour x sur [0,2∏]

Donc j'ai fais mes reccherche pour la 3) , j'ai trouvé ∏/12 +k∏ et 3∏/4+k∏

Est ce bon ?

Pour la 4) , j'ai trouvé cos(x) = √3/2 ou cos(x) = 1/2

Est ce bon ?

Pour la 3), j'ignore ta démarche, mais ce que tu donnes ne peut pas être l'ensemble des solutions d'une double inéquation sur [0,2∏].

Pour la 4), je suppose que tu as fait un changement d'inconnue pour résoudre une équation du second degré.

Tes réponses pour cosx sont bonnes, mais ce n'est pas terminé.
Il te reste à déduire les valeurs de x solutions sur R