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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Arithmétique PPCM Divisibilité

- classé dans : Arithmétique

Envoyé: 15.04.2017, 11:33

erico55

enregistré depuis: mars. 2017
Messages: 2

Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.17
bonjour
j'ai besoin d'aide avec la premier question I et II- 4)-b-d-

voilà l'énoncé

I— Résoudre dans N*N, le système S
a*b= 12600
ppcm(a,b) = 1260
II — Soit n ∈N .
1) Pour : 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 5^n par 13.
2) a —Montrer par récurrence sur n, que 5^{4n} -1 est divisible par 13
b—En déduire que : 5^{4n+1}-5,  5^{4n+2}-12et 5^{4n+3}-8 sont divisibles par 13.
c— Déterminer alors le reste de la division par 13 du nombre 5^{2011}
3). Le nombre p étant un entier naturel on considère le nombre A, défini par A(p) = 5^{2 p}+5 ^{4p}
a—Si p = 2n, quel est le reste de la division de A, par 13.
b- Démontrer que, si p = 2n+1, A est divisible par 13.

4) On considère la Suite (U_n)n=2, définie par : U_n=1+5+5^{2}+5^{3}+...+5{n-1}
a—Montrer que U_n =\frac{5^{n}-1}{4}
b— Montrer que si U est divisible par 13 alors 5^{n} - 1 est divisible par 13.
c-Réciproquement, montrer que si 5^{n} - 1 est divisible par 13, alors U, est divisible par 13 Indication : 13U_n-3*(4U_n)=U_n
d— En déduire les valeurs de n telles que U_n, soit divisible par 13.


voilà mes réponses:
pour la question I : a=10a' et b=10b' on obtient a'*b'=126 avec a' et b' sont premiers entre eux
126=2*3^{2}*7
126=2*63=18*7=14*9 d'ou les couples (a',b') sont {(2,63),(63,2)(18,7)(7,18)(14,9)(9,14)} puis on multiple par 10 pour obtenir les couples (a,b)

ESt ce que ce n'est pas juste? sinon est ce qu'il y a une autre méthode plus simple et clair




pour la question I : a=10a' et b=10b' on obtient a'*b'=126 avec a' et b' sont premiers entre eux
126=2*3^{2}*7
126=2*63=18*7=14*9 d'ou les couples (a',b') sont {(2,63),(63,2)(18,7)(7,18)(14,9)(9,14)} puis on multiple par 10 pour obtenir les couples (a,b)

ESt ce que ce n'est pas juste? sinon est ce qu'il y a une autre méthode plus simple et clair




II-
1) n=1.....5^1....r=13
n=2.....25.....r=12
n=3.....125....r=8
n=4.....625....r=1
n=5.....3125...r=5
n=6.....15625..r=5

2)-a- la propriété est vrai pour n=0 suppose que p_n est vrai mtr que p_{n+1} est vrai
4^{4n+4}-1=652*5^{4n}-1=624*5^{4n}+5^{4n}-1 ........ est divisble par 13

-b- 5^{4n+1} - 5=5*(5^{4n}-1)divisble par 13 , 5^{4n+2} - 12=25(5^{4n}-1)+13 divisble pa 13 et 5^{4n+3} - 8=125(5^{4n}-1)+117 est divible par 13

-c- 5^{2011}=5^{4*502+3} donc le rste est 8 d'aprés la question précedent
3) -a-
A_2n=...=5^{4}(1+5^{4n}) divisible par 13 donc le reste : r=0
-b- A_{2n+1}=...=5^4(5^{4n}+5^{8n}) divible par 13 d'aprés la question précednet ...

4) -a- j'ai montré l'égalité c'est un somme de suite géometrique

-b- on a : 4*u_n = 5^n-1 j'ai voulu mtr que 4 et 5^n-1 sont premiers entre eux de suite utilisier la lemme de Gauss
mais il semble que 5^n -1 est divible par 13 ..... j'ai besoin d'aide avec cette question

-c- on a 4*u_n = 5^n-1
donc 13U_n -3*(4U_n)=U_n ⇔ 13U_n -3*(5^n-1)=U_n ⇔....⇔ alors u_n est divisble par 13
-d- u_n est divisible par 13 4*u_n est divisible par 13 donc 5^n-1 est divisible par 13 je panse à la théorème de Fermat mais je n'arrive pas

modifié par : mtschoon, 16 Avr 2017 - 10:08


je suis fou de math

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Envoyé: 15.04.2017, 23:20

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9349

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Bonsoir,

J'ai déplacé ton topic dans la rubrique TS car ces questions d'arithmétique font partie du programme de TS spécialité Maths.
Je suppose que tu es scolarisé à l'étranger et que les niveaux sont différents des niveaux français.


Quelques pistes rapides,

I) oui, mais il semble manquer 2 cas : (a',b')=(1,126) et (a',b')=(126,1) car
1 x 126=126 x 1=126 et PGCD(1,126)=PGCD(126,1)=1

II b)Tu peux faire simple

Si Un est divisible par 13, tu peux écrire Un=13K, avec K entier, c'est à dire
\frac{5^n-1}{4}=13K

donc  5^n-1=4\times 13K , d'où la réponse

II)d) Oui pour 5^n-1 divisible par 13

Le théorème ne Fermat n'est pas adapté (même s'il y a des ressemblances)

Tu trouveras la solution en utilisant les résultats démontrés au 2)a) et au 2)b)

Le 2)a), en changeant les notations, te permet d'affirmer que pour n multiple de 4 (n=4k avec k entier), 5^n-1 est divisible par 13

Reste à étudier les 3 autres cas : n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3

En utilisant les résultats du 2)b), tu dois pouvoir justifier facilement que dans ces cas, 5^n-1 n'est pas divisible par 13

Bon travail !

modifié par : mtschoon, 16 Avr 2017 - 12:12
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Envoyé: 16.04.2017, 17:50

erico55

enregistré depuis: mars. 2017
Messages: 2

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dernière visite: 16.04.17
Merci vos réoponses sont claires et parfaits


je suis fou de math

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Envoyé: 17.04.2017, 11:12

Modératrice


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Messages: 9349

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De rien erico55 et bon devoir !
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