3D Distance d'un point à une droite


  • D

    Bonjour,
    il faut: calculer la distance du point A(2,1,2) à la droite D ayant pour représentation paramétrique
    x= 1+λ
    y= 1-2λ
    z=1+λ de paramètre λ choisi dans R

    pour λ=0, j'obtiens: x=1; y=1; z=1 -> point A
    pour λ=1 ; x=2; y=1; z=2 -> point B

    soit 2x-y+2z+d=0

    le début est bon?

    merci


  • mtschoon

    Re-bonjour,

    Il y a visiblement encore des erreurs...

    Oui pour A(1,1,1)

    Pour B c'est (2,-1,2)

    Vecteur directeur de (D): u⃗=ab⃗\vec{u}=\vec{ab}u=ab

    coordonnées de ce vecteur (xB-xA,yB-yA,zB-zA)=(2-1,-1-1,2-1)=(1,-2,1)

    Le plan (P) passant par A et perpendiculaire à (D) a pour équation

    x−2y+z+d=0x-2y+z+d=0x2y+z+d=0


  • D

    je trouve d=-2

    et λ=-1/3


  • mtschoon

    Oui pour d=-2

    Erreur pour λ

    Tu dois trouver λ=1/3

    Pour le point I projeté de A sur (D), tu dois trouver (4/3 , 1/3 , 4/3)

    La distance cherchée est la distance AI

    $\text{ai=\sqrt{(x_i-x_a)^2+(y_i-y_a)^2+(z_i-z_a)^2}$

    Tu dois trouver

    $\text{ai=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt 3}=\frac{2\sqrt 3}{3}$

    Remarque : pour être sûre de la réponse, j'ai fait le calcul de la distance d'une toute autre manière et je trouve la même réponse.


  • D

    C'est bon je trouve bien 1/3 j'ai juste oublié de changer le signe de d quand j'ai résolu l'équation.
    si j'ai bien compris, on pourrais faire un tableau de variation en mettant pour λ=1/3 on obtient un minimum en √4/3

    Enfin je n'ai presque plus de question sauf sur un exercice fait en classe ( produit scalaire en 3D) où je ne comprends pas deux valeurs trouvées.

    Merci beaucoup


  • mtschoon

    Oui, si tu appelles f la fonction définie par f(λ)=AM, M étant un point quelconque de (D), le minimum AI de cette fonction est la distance cherchée.
    Tu trouves ainsi que le minimum est pour λ=1/3 et que ce minimum est f(1/3)=√(4/3)

    Si tu ne comprends pas ton exercice sur le produit scalaire, ouvre une autre discussion.
    Je regarderai si besoin.


  • D

    Merci beaucoup pour toutes ces explications


  • mtschoon

    De rien .

    Je viens de te faire les calculs relatives au produit scalaire dans un cube.


  • mtschoon

    Tant que je suis sur cet exercice, je t'indique les calculs pour trouver, d'une autre façon, la distance d'un point à une droite.
    Tu as dû la voir vu que tu parles de "tableau de variation"

    Soit M(x,y,z) un point quelconque de (D)

    $\text{am=\sqrt{x_m-x_a)^2+(y_m-y_a)^2+(z_m-z_a)^2}$

    $\text{am=\sqrt{(1+\lambda-2)^2+(1-2\lambda-1)^2+(1+\lambda-2)^2}$

    $\text{am=\sqrt{(\lambda-1)^2+(-2\lambda)^2+(\lambda-1)^2}$

    Il faut développer les carrés et les ajoutersans faire d'erreurs...!

    Tu trouves ainsi

    $\text{am=\sqrt{6\lambda^2-4\lambda+2}$

    AM est une fonction de λ

    Tu peux poser

    $\text{am=f(\lambda)=\sqrt{6\lambda^2-4\lambda+2}$

    Les variations de f sont les mêmes que les variations de g définie par

    g(λ)=6λ2−4λ+2g(\lambda)=6\lambda^2-4\lambda+2g(λ)=6λ24λ+2

    Il s'agit d'un polynôme de second degré (de la forme aλ²+bλ+c)

    Tu as vu cela l'an passé il me semble.

    Le minimum est pourλ=−b2a=−−412=13\lambda=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{12}=\frac{1}{3}λ=2ab=124=31

    Après calculs :

    $\text{ai=f(\frac{1}{3})=\sqrt{\frac{4}{3}}$

    Remarque : cette méthode est très bonne mais elle esttotalement "calculatoire"
    Je ne sais pas si elle te convient vraiment...
    A toi de voir.


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