fonction trinôme aire maximale

J'ai un devoir à rendre, voici le problème : "Je dispose d'une corde de 2m de longueur. Comment puis-je délimiter un rectangle d'aire maximale avec cette corde?"

Je dois le faire en 3 parties : 1)Modélisation
2)Etude du modèle
3)Conclusion

J'ai déjà fais en classe la modélisation : (grand côté du rectangle)=x appartient à l'intervalle 0;1
(petit côté du rectangle)= 1-x

A(x)=x(1-x)
=-x²+x

Pouvez-vous m'aider pour la suite svp? (sachant que je suis en train de travailler sur les fonctions trinômes, etc..)

Bonjour,

Oui pour le 1)

Pour le 2), tu appliques ton cours sur les fonctions trinômes du second degré

$A(x)=-x^2+x$

A(x) est de la forme ax²+bx+c avec a=-1, b=1 et c=0

a < 0 donc la fonction admet un maximum pour $x=−b2a=−1−2=12x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$

Tu calcules $A(12)A(\frac{1}{2})$

Pour conclure , tu dois trouver que l'aire est maximale lorsque le rectangle est carré .

merci, mais comment dois-je faire pour calculer A(1/2) ?

Pour calculer A(1/2), tu remplaces x par 1/2 dans A(x)

merci, j'ai donc fais : (-1/2)²+1/2=0.75
c'est bien ça?
et ensuite, comment est ce que je dois formuler la suite?

Recompte.

0.75 n'est pas la bonne réponse.

-x² ne vaut pas (-x)²

De même,

-(1/2)² ne vaut pas (-1/2)²

Tu dois trouver A(1/2)=1/4

L'idée de la conclusion a été indiquée dans ma réponse précédente ( le cordage doit avoir la forme d'un carré de côté 1/2 mètre)

ah oui merci, donc, pour la conclusion, je marque que pour que l'aire soit maximale il faut que ce soit un carré de 0.25cm de côté?
est ce que je dois plus détailler?

Ce n'est pas 0.25 de côté !

1/2=0.5

Tu n'as pas à détailler particulièrement la conclusion, à condition d'avoir fait l'étude de la fonction A (trinôme du second degré) soigneusement à la question précédente qui amène à x=1/2 pour l'aire maximale

Tu peux expliquer que pour x=1/2, 1-x=1-1/2=1/2donc que le rectangle est bien un carré de côté1/2

fichier math

J'ai donc fais ça, ça va? Je ne sais juste pas trop comment formuler la conclusion

Je regarde ton fichier.

Pour l'étude de la fonction A, je te suggère d'enrichir l'explication.

Oui pour le maximum, mais tu devrais, en plus, indiquer sur quel intervalle la fonction A est croissante et sur quel intervalle elle est décroissante.

Pour la conclusion, je te l'ai déjà expliquée.
Relis l'explication. C'est à toi de la rédiger !

Bon travail.

merci, comment est ce que je peux enrichir l'explication de la fonction A?
et pour le maximum, comment je peux trouver les intervalles?

merci, comment est ce que je peux enrichir l'explication de la fonction A?
et pour le maximum, comment je peux trouver les intervalles?

x est la mesure d'un côté du rectangle et 1-x est la mesure de l'autre côté.
Nécessairement x ≥ 0 et 1-x ≥ 0
1-x ≥ 0 <=> -x ≥ -1 <=> x ≤ 1

donc0 ≤ x ≤ 1

Pour 0 ≤ x ≤ 1/2 , A croissante
Pour x= 1/2 A prend sa valeur maximale
Pour 1/2 ≤ x ≤1 , A décroissante

*Je te conseille de revoir tout ça de près pour maîtriser ton exercice.
*

mais ca veut dire quoi : <=> et 0 ≤ x ≤ 1
?, j'ai pas encore tout vu, j'ai commencé la laçon que depuis 1semaine

<=> 0 ≤ x ≤ 1 veut dire "équivaut àx compris entre 0 et 1"

*Cela n'a rien à voir avec les fonctions trinômes , il s'agit d'écritures usuelles relatives aux inégalités *

fichier math

J'ai donc fais ça, ça va ? il me manque juste la conclusion

C'est à ton professeur de juger de ton travail...

Une erreur cependant dans ton tableau de variation .

Lorsque x tend vers +∞, A(x) tend vers -∞

Tu n'as d'ailleurs pas à faire varier x de -∞ à +∞ , vu que x varie seulement de 0 à 1

Pour la conclusion , une aide a déjà été donnée :

Citation
le cordage doit avoir la forme d'un carré de côté 1/2 mètre

merci, pour le tableau de variation, dans la partie f(x), je dois donc mettre deux -∞?
et pour la conclusion, il suffit que je dise que pour que l'aire soit maximale, il faut un carré de 0.5m de côté ou je dois plus expliquer?

Dis comme ça, oui tu dois mettre deux -∞ ( en supposant que tu comprennes ce que cela signifie...)

Pour la conclusion, détaille à ta guise.

Ici, on ne fait pas les exercices, on aide à les faire.

d'accord merci, j'ai ensuite le même exercice à faire mais avec une longueur l donc:"Je dispose d'une corde de longueur l. Comment puis-je délimiter un rectangle d'aire maximale avec cette corde?"
mais je ne comprend pas comment je peux faire sans nombre..

Raisonne exactement de la même façon

l est le prérimètre donc le demi-périmètre est l/2

En appelant x la longueur d''un côté, la longueur de l'autre côté sera l/2-x

$A(x)=x(l2−x)=−x2+l2xA(x)=x(\frac{l}{2}-x)=-x^2+\frac{l}{2}x$

Tu traites la suite comme précédemment

Pour la modélisation, j'ai donc fais :
(grand côté du rectangle)=x appartient à l'intervalle (0;l/2)
(petit côté du rectangle)= l/2-x

je suis pas sure pour le grand côté...c'est bien ça?

fichier math
Pour la suite j'ai fais ça, mais je ne sais pas comment faire pour calculer -b/2a puisque j'ai des lettres mais pas de nombres..

Les lettres représentent des nombres

$\ b=\frac{l}{2} \ c=0$

$−b2a=−l2−2=l4\frac{-b}{2a}=\frac{\frac{-l}{2}}{-2}=\frac{l}{4}$

ah oui je comprend merci!
Pour la modélisation, elle est bien juste pour le grand côté ou il suffit de simplement l'appeller x ?

Pour la suite, j'ai donc fais :
A(l/4)= -(l/4)²+l/2×l/4
mais encore une fois, je suis bloquée car je ne sais pas comment le calculer

La modélisation est exactement la même que pour la première partie

un côté du rectangle a pour mesure x et, en conséquence, l'autre côté (adjacent) a pour mesure l/2-x

A(l/4)=-l²/16 + l²/8

Tu réduis au même dénominateur , tu simplifies le numérateur et tu dois trouver :
A(l/4)=l²/16

d'accord merci, ensuite, comment est ce que je peux faire un tableau de variations? avec quelles intervalles?

Tu appliques exactement la même démarche que pour la première partie (si tu l'as vraiment comprise)

A est une fonction trinôme

x < l/4 A croissante
x = l/4 A a son maximum l²/16
x > l/4 A décroissante

Evidemment, cette fonction trinôme est définie sur R (de -∞ à +∞) mais dans cet énoncé, x ne peux prendre que des valeurs comprises entre 0 et l/2 (le demi-périmètre)

fichier math
Pour le tableau de variations, j'ai donc fais ça, mais je ne suis pas sûre du tout, est ce que c'est bien ça?

ET comment est ce que je peux trouver les intervalles pour faire un tableau de valeur comme j'ai fais dans le précédent exercice ? est ce que je peux re-étudier A sur l'intervalle 0;1 ou vu que c'est une lettre, ça ne se fait pas de la même manière?

Tu as fait la même erreur que dans la première partie relativement à x tendant vers +∞
Revois et comprends que A ne peux pas décroitre vers +∞ . C'est un non-sens.

Dans la première partie, x variait de 0 à 1, car le demi-périmètre était 1m

Ici, de la même façon, x varie de 0 à l/2 car le demi-périmètre est de l/2 m.

donc, lorsque x tend vers +∞, f(x) tend vers -∞ et pas vers +∞, c'est bien ça?

ET comment est ce que je peux trouver les intervalles pour faire un tableau de valeur comme j'ai fais dans le précédent exercice ? est ce que je peux re-étudier A sur l'intervalle 0;1 ou vu que c'est une lettre, ça ne se fait pas de la même manière?

Oui, lorsque x tend vers +∞, f(x) tend vers -∞

Mais f devrait s'appeler A vu qu'il s'agit de la fonction notée A

l représente un nombre (exemple l=2 dans la première partie)

déjà dit :

Citation
Dans la première partie, x variait de 0 à 1, car le demi-périmètre était 1m

Ici, de la même façon, x varie de 0 à l/2 car le demi-périmètre est de l/2 m.

Si tu veux faire un tableau de valeurs dans la seconde partie avec 5 valeurs pour x, tu peux prendre0 ... l/8 ... l/4 ... 3l/8 ... l/2

Si tu n'as pas le courage de faire les calculs pour l/8 et 3l/8 , tu peux mettre seulement les 3 valeurs 0 ... l/4 ... l/2

d'accord, merci beaucoup, je fais tous ça alors

fichier math
J'ai donc fais ça, c'est bien ça?

Et je ne sais pas que mettre en conclusion, ça doit être un carré de l/4 m de côté?

Attention : on étudie la fonction sur l'intervalle [0 , l/2] et non [0 , l/4]

Ton idée pour la conclusion est bonne

Pour x=l/4, l/2-x=l/2-l/4=l/4

Le rectangle est donc bien un carré de côté l/4