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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Résolution d'équations trigonométriques

- classé dans : Angle orienté & Trigonométrie

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Envoyé: 17.02.2017, 17:17

Constellation


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Bonsoir

Pouvez vous m aider
Je n'y comprends rien

Résoudre équations :

1/ cos(x) = -rac2/2 sur R puis sur [0:3pi]
2/ sin(2x)=sin [5/7*pi] sur R puis sur [-pi:2pi]

merci encore à vous car je ne comprends pas du tout

modifié par : Noemi, 17 Fév 2017 - 18:50
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Envoyé: 17.02.2017, 17:29

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Bonsoir VEROTIL,

Tu dois avoir dans ton cours la résolution de
cos (x) = cos(a) et sin(x) = sin(a)

Pour le 1 à partir du tableau des mesures trigonométriques à connaitre et du cercle trigonométrique quel angle donne cos(x) = -√2/2 ?
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Envoyé: 17.02.2017, 17:47

Constellation


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angle orienté??

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Envoyé: 17.02.2017, 17:56

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Oui, angle orienté 3π/4

Le cours
Cos (x) = cos(a)
.....
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Envoyé: 17.02.2017, 18:00

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Dans R S=[-4/pi+2kpi;+4/pi+2kpi]
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Envoyé: 17.02.2017, 18:08

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cos (x) = cos(a)

x = a + 2kπ et
x = -a +2kπ avec k entier relatif
donc
cos(x) = cos(3π/4) donne
x = 3π/4 + 2kπ et
x= ....
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Envoyé: 17.02.2017, 18:12

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Je n'ai meme pas ca dans mon cours
angle orienté = 3n/4

x=3n/4+2kn
x=-3n/4+2kn
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Envoyé: 17.02.2017, 18:16

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Tu as peut être cette démarche pour la résolution de cos(x) = a :

On va supposer que -1 ≤ a ≤ 1, sinon le problème n’a pas de solution.
On commence par chercher les valeurs de x sur l’intervalle [ - π ; π ], en s’aidant du cercle trigonométrique.
On place donc a sur l’axe des abscisses, puis on trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ce point. Elle croise le cercle en deux points C et D.
On détermine alors deux angles : α et - α.
L’ensemble des solutions est alors l’ensemble des réels x tels que
x = α + 2kπ ou x = - α +2kπ où k est un entier relatif.

modifié par : Noemi, 17 Fév 2017 - 18:20
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Envoyé: 17.02.2017, 18:21

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dans le seul exemple fait en classe
c'était cos(x)=cos n/6 puis sur [0;2pi]

on a calculer k=0
k=1
k=-1
et k=2
elle nous a indiqué cos x= cos a
a+2kn et -a+2kn

donc comment faire cet exo car j ai vraiment du mal a le comprendre

x=3n/4+2kn
x=-3n/4+2kn
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Envoyé: 17.02.2017, 18:29

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Pour la résolution sur [0;3π], tu fais varier k et tu vérifies si la valeur trouvée appartient à l'intervalle donnée.
k = 0 donne 3π/4 qui est solution et -3π/4 qui n'est pas solution
k = 1 donne ...
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Envoyé: 17.02.2017, 18:33

Constellation


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k=1 donne 3pi/4+2pix1
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Envoyé: 17.02.2017, 18:37

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Tu peux faire les deux solutions en même temps
pour k = 1
x = 3π/4 + 2π et x = -3π/4 + 2π
soit
x = 11π/4 qui est solution et x = 5π/4 qui est solution

pour k = 2
....
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Envoyé: 17.02.2017, 18:45

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comment trouvez vous 11pi/4 et 5pi/4

pour k=2
x=3pi/4+2pi*2 x=-3pi/4+2pi*2
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Envoyé: 17.02.2017, 18:47

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tu réduis au même dénominateur
x = 3π/4 + 2π et x = -3π/4 + 2π
x = 3π/4 + 8π/4 et x = -3π/4 + 8π/4
x = 11π/4 et x = 5π/4
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Envoyé: 17.02.2017, 18:50

Constellation


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ah ok j ai trouvé
donc pour la suite de k=2
x=19pi/4 qui est solution
x=13pi/4 qui est solution
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Envoyé: 17.02.2017, 18:55

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Pour k=2
x=19pi/4 n'est pas solution car 19π/4 > 3π
x=13pi/4 n'est pas solution car 13π/4 > 3π

vérifie que pour k = -1 il n'y a pas de solution.
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Envoyé: 17.02.2017, 19:09

Constellation


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k=-1

x=3pi/4+2pi*(-1)=-5/4pi
x=-3pi/4+2pi*(-1)=-11/4pi
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Envoyé: 17.02.2017, 19:12

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je ne comprends pas pouquoi pour k=1 les 2 réponses sont solutions
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Envoyé: 17.02.2017, 19:13

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k=-1

x=3pi/4+2pi*(-1)=-5/4pi qui n'est pas solution
x=-3pi/4+2pi*(-1)=-11/4pi qui n'est pas solution.

Passe à la deuxième équation.
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Envoyé: 17.02.2017, 19:15

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Pour k = 1,
x = 11π/4 et x = 5π/4
c'est deux solutions sont comprises entre 0 et 12π/4.
Top 
Envoyé: 17.02.2017, 19:21

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pour la seconde

k=0
x= 5/7 pi qui n est pas solution
x=-5/7 pi qui est solution

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Envoyé: 17.02.2017, 19:25

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Pour la seconde équation, il faut d'abord la résoudre sur R,

Le cours
pour sin(x) = a
On va supposer que -1 ≤ a ≤ 1, sinon le problème n’a pas de solution.
On commence par chercher les valeurs de x sur l’intervalle [ - π ; π ], en s’aidant du cercle trigonométrique.
On place donc a sur l’axe des ordonnées, puis on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point. Elle coupe le cercle en deux points C et D.
On détermine alors deux angles : α et π - α.
L’ensemble des solutions est alors l’ensemble des réels x tels que
x = α + 2kπ ou x = π - α +2kπ où k est un entier relatif.
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Envoyé: 17.02.2017, 19:31

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S=[5/7pi+2kpi;pi-5/7pi+2kpi]

non comprends pas
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Envoyé: 17.02.2017, 19:36

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Non

2x = 5π/7 + 2kπ et 2x = π -5π/7 + 2kπ = 2π/7 + 2kπ
puis tu divises par 2 car 2x
soit pour les solutions sur R
x = 5π/14 + kπ et x = π/7 + kπ avec k entier relatif.

Pour les solutions sur [-π ; 2π]
tu fais varier k
k = 0
....;
Top 
Envoyé: 17.02.2017, 19:46

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k=0
2x=5pi/7 n est pas solution

k=1
2x=5pi/7+2pi=19pi/7 n est pas solution

k=2
2x=5pi/7+2pi*2 = 33pi/7 n est pas solution
Top 
Envoyé: 17.02.2017, 20:51

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Tu travailles à partir des solutions dans R soit :

x = 5π/14 + kπ et x = π/7 + kπ avec k entier relatif.

Pour les solutions sur [-π ; 2π]
tu fais varier k
pour k = 0
x = 5π/14 et x = π/7 qui sont solutions

pour k = 1
x = ...
Top 
Envoyé: 17.02.2017, 21:16

Constellation


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je suis désolée je bloque complétement sur celui là
Top 
Envoyé: 17.02.2017, 21:18

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Tu bloques où ?

Pour la suite, il suffit de remplacer k par 1
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 09:01

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bonjour

donc pour k=1
x= 5pi/14+1pi=19pi/14 donc n est pas solution
x= pi/7+1pi=8pi/7 est solution

k=2
x=5pi/14+2pi = 33pi/14 n est pas solution
x= pi/7+2pi=15pi/7 n est pas solution
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 09:46

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pour k=1
x= 5pi/14+1pi=19pi/14 est solution car < 2π
x= pi/7+1pi=8pi/7 est solution

k=2
x=5pi/14+2pi = 33pi/14 n est pas solution
x= pi/7+2pi=15pi/7 n est pas solution

passe à k = -1 puis k = -2
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 09:52

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pour k=-1
x= 5pi/14+1(-1)pi = -9pi/14 qui est solution
x=pi/7+(-1)pi=-6pi/7 qui est solution

pour k=-2
x=5pi/14+(-2)pi=-23pi/14 qui est solution
x=pi/4+(-2)pi = -13pi/7 qui est solution
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 10:25

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2x = 5π/7 + 2kπ et 2x = π -5π/7 + 2kπ = 2π/7 + 2kπ
puis tu divises par 2 car 2x
soit pour les solutions sur R
x = 5π/14 + kπ et x = π/7 + kπ avec k entier relatif.

il y a une chose qui me bloque
pourquoi a t on mis 5pi/14?
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 10:27

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pour k=-1
x= 5pi/14+1(-1)pi = -9pi/14 qui est solution Oui
x=pi/7+(-1)pi=-6pi/7 qui est solution Oui

pour k=-2
x=5pi/14+(-2)pi=-23pi/14 qui n'est pas solution car < -π
x=pi/7+(-2)pi = -13pi/7 qui n'est pas solution car < -π

Tu écris ensuite l'ensemble des solutions.
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 10:28

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C'est (5π/7) / 2 = 5π/7 * 1/2 = 5π/14
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 10:42

Constellation


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donc S=[5pi/14;pi/7;19pi/14;8pi/7;-9pi/14:;-6pi/7]
Top 
Envoyé: 18.02.2017, 10:48

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Oui
Mais mets les solutions dans l'ordre croissant et entre accolades et non crochets.
S = {-6π/7 ; ..... }
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Envoyé: 18.02.2017, 10:50

Constellation


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oui merci Noemi pour votre aide et patience
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Envoyé: 18.02.2017, 10:52

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J'espère que tu as compris le raisonnement et la démarche.
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Envoyé: 18.02.2017, 10:53

Constellation


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donc -6pi/7;-9pi/14;19pi/14;8pi/7;5pi/14;pi/7
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Envoyé: 18.02.2017, 10:58

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S = {-6pi/7;-9pi/14;pi/7;5pi/14;8pi/7;19pi/14}
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