Algèbre linéaire - Base

Bonjour,
Je refais un exercice sur lequel je vais être interrogé mardi, jusqu'à présent tout se passer bien sauf à cette ligne (même si je pense que c'est tout bête):

$soitλetμ=0\ 5\lambda + 2\mu =0 \ 4\lambda +3\mu =0 \ soit \lambda et \mu =0$

Je ne comprends pas comment on trouve les 2 inconnues =0
Merci

Bonjour,

Tu peux, par exemple, raisonner par substitution

Dans la première équation, tu isoles λ

$λ=−25μ\lambda=-\frac{2}{5}\mu$

Tu substitues dans la seconde équation

$4(−25μ)+3μ=04(-\frac{2}{5}\mu)+3\mu=0$

$(−85μ)+3μ=0(-\frac{8}{5}\mu)+3\mu=0$

$μ(−85+3)=0\mu(-\frac{8}{5}+3)=0$

$μ(75)=0\mu(\frac{7}{5})=0$

7/5 est non nul, d'où $\fbox{\mu=0}$

$λ=−25μ=−25×0\lambda=-\frac{2}{5}\mu=-\frac{2}{5}\times 0$ , d'où $\fbox{\lambda=0}$

Bien sûr, tu pourrais aussi raisonner par combinaison linéaire ou utiliser les formules avec les déterminants.

D'accord ce n'était pas sorcier.
J'ai un autre soucis, je vous donne l'énoncé quand même :

Montrer que les vecteurs u(5,4) et v(2,3) forme une base de l'espace vectoriel (R^2,R+,...) puis donner les coordonnées de u(1,1) dans la base (u,v). Quels sont les coordonnées de u et V dans cette même base.

Comme solution j'ai
W(1,1) = 1/7u + 1/7v
R(1,2) = -1/7u +6/7v
U(5,4)= 1u + 0v
V = 0u + 1v

Bien avant j'ai calculé le det qui est = à 1/7 vu les résultats trouvés je me doute qu'il intervient.

Merci

S'il s'agit de trouver les coordonnées de w(1,1) dans la base (u,v):

Soit x et y les coordonnées cherchées

(1,1)=x(5,4)+y(2,3)

(1,1)=(5x,4x)+(2y,3y)

(1,1)=(5x+2y,4x+3y)

$\left{5x+2y=1\4x+3y=1\right$

Tu résous ce système par la méthode de ton choix et tu trouves x=1/7 et y=1/7

Remarque

Vu que tu as déjà démontré que (u,v) est une base, tu as déjà prouvé que tout vecteur w(a,b) s'écrit sous forme de combinaison linéaire unique

$w = x u + y v$

$(a, b) = x (5, 4) + y (2, 3)$

$\left{5x+2y=a\4x+3y=b\right$

Ce système à pour couple-solution

$y=−4a+5b7x=\frac{3a-2b}{7} \ y=\frac{-4a+5b}{7}$

Pour obtenir les coordonnées de tout vecteur de R² dans la base (u,v), tu n'as pas besoin de faire de nouveaux calculs, tu remplaces tout simplement a et b par leurs valeurs dans les dernières expressions écrites de x et y

Je résous par combinaison, mais je ne vois pas comment vous trouver x et y , je crois que le À et B me perturbent.
Pourtant ça me ferait gagner beaucoup de temps car j'étais en train de faire des calculs pour chaque.

Prends les notations que tu souhaites car j'ignore les notations de ton cours, mais cela n'a aucune importance !

Pour résoudre le système, tu résous comme tu veux : par substitution (déjà vu au début de ce topic) ou par combinaison linéaire ou avec les formules de déterminants si tu connais .

Exemple : Par combinaison linéaire pour trouver y

En multipliant la première équation par 4
En multipliant la seconde équation par -5

20x+8y=4a
-20x-12y=-5b

En ajoutant membre à membre

-7y=4a-5b

d'où $y=−4a+5b7y=\frac{-4a+5b}{7}$

Applique la même logique pour trouver x ( ou termine par substitution).

Bonsoir,
Pour cet exercice c'est maintenant clair merci.
Je sais que je n'arrête pas mais nous avons fait beaucoup d'exercices et vu que nous avons un contrôle pour la prochaine séance je veux tout comprendre et tout maîtriser.

Énoncé : montrer que les vecteurs b1(1,1,2) b2(1,1,1) et b3(0,1,2) forme une base dans l'espace vectoriel (R^3,R...) donner les coordonner de v(-1,1,0)

Donc je fais tout comme la correction mais après avoir fait ma matrice inverse je suis bloqué donc je regarde la correction et il y a noté v(-3,2,2) donc je me suis dit avec le résultat de ma matrice inverse je vais résoudre les inconnues avec la méthode de Cramer mais ça ne marche pas d'où ma question comment trouve t-on -3,2,2?

Dernière question de la soirée, je vous rassure

dut
D'accord ce n'était pas sorcier.
J'ai un autre soucis, je vous donne l'énoncé quand même :

Montrer que les vecteurs u(5,4) et v(2,3) forme une base de l'espace vectoriel (R^2,R+,...) puis donner les coordonnées de u(1,1) dans la base (u,v). Quels sont les coordonnées de u et V dans cette même base.

Comme solution j'ai
W(1,1) = 1/7u + 1/7v
R(1,2) = -1/7u +6/7v
U(5,4)= 1u + 0v
V = 0u + 1v

Bien avant j'ai calculé le det qui est = à 1/7 vu les résultats trouvés je me doute qu'il intervient.

Merci

Je réponse donc à cette dernière question.

Citation
ça ne donne pas ça !

Recompte ! ! !

Pour u(5,4)

a=5
b=4

$y=−4×5+5×47=20−207=07=0x=\frac{3\times 5-2\times 4}{7}=\frac{15-8}{7}=\frac{7}{7}=1 \ \ y=\frac{-4\times 5+5\times 4}{7}=\frac{20-20}{7}=\frac{0}{7}=0$

CQFD

Tu peux faire pareil pour v(2,3) pour t'entraîner

Je regarde ton avant-dernière question.

$x (1, 1, 2) + y (1, 1, 1) + z (0, 1, 2)) = (- 1, 1, 0)$

Après transformations

$\left{x+y=-1\x+y+z=1\2x+y+2z=0\right$

Si j'ai compris ce que tu sembles indiquer, tu veux résoudre ce système par calcul matriciel

Soit $a=\left(1\ 1\ 0\1\ 1\ 1\2\ 1\ 2 \right)$

Le système s'écrit donc

$a\times \left(x\ y\ z \right)=\left(-1\1\0\right)$

D'où

$\left(x\ y\ z \right)=a^{-1}\times \left(-1\1\0\right)$

Pour $a^{-1}$ tu dois trouver après calculs

$a^{-1}=\left(\ 1\ -2\ \ 1\\ 0\ \ 2\ -1\-1\ \ 1\ \ 0\right)$

Puis, après multiplication par $\left(-1\1\0\right)$
tu obtiens bien le résultat souhaité

$2)\left(x\ y\ z \right)= \left(-3\ 2\ 2 \right)$

CQFD

Si c'est la détermination de $A^{-1}$ qui te pose problème, je te mets un lien où les calculs d'une matrice inverse sont faits avec une explication qui me semble claire.

http://fr.wikihow.com/calculer-l'inverse-d'une-matrice-3x3

Bonjour Mtschoon,
Non la matrice inverse ne me pose plus de problème vous me l'avez tellement expliqué que je pourrais la faire les yeux fermés.
Je ne comprenais pas le résultat final parce que je m'arrêtais à la matrice inverse je n'avais pas compris qu'il fallait multiplier par le vecteur v.

Merci de toutes vos explications, j'ai grâce à vous compris les deux premiers exercices, maintenant il n'en reste plus qu'un.
Bon dimanche

Bon courage pour le dernier !