Fonction exponentielle et limites

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercice auquel je bloque svp,

Soit f la fonction définie sur [0; + 00[ par :

f(x) = ((x²+x+1)/(x²))*e^((-1)/x) pour x > 0 et f(0) = 0

On note C sa courbe représentative dans u repère orthonormal (o;i,j)

(a) Démontrer que la droite Delta d'équation y=1 est asymptote à C
(b) Pour x > 0, calculer (f(x)-f(0))/x

Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 ( on pourra poser u = 1/x et utiliser, pour n naturel non nul, limite x ->+00 u^n*e^(-u) = 0)

Que peut-on déduire pour la fonction f ?
Que peut-on déduire pour la courbe C

(c) Démontrer que, pour tout x de [0; + 00[, on a :

f'(x)=((1-x)/(x^4)) * e^((-1)/x)

Réponses :

1)Pour démontrer que cette droite est asymptote je fais lim f(x) quand x tend vers -00 puis la même chose en +00 et je vais trouver 1

(f(x)-f(0))/x = f(x)/x
lim f(x)/x (quand x tend vers 0-) = -00
lim f(x)/x (quand x tend vers 0+) = +00

Je peux déduire pour la fonction f(x)/x est la fonction symétrique à f(x)
Je peux déduire que la courbe C a une asymptote x=0

Merci à vous

Bonjour elevedeseconde;

La fonction est définie pour x ≥ 0.
Revois le calcul sur la limite en 0+

Lim f(x)/x (quand x tend vers 0+) = 0 ??

Oui c'est 0+

Du coup pour la suite, mes déductions sont-elles justes ?

C'est faux.

Tu as calculé le nombre dérivé en 0 qui vaut 0 donc ......

Une asymptote en y=0 *

C'est un point, donc un minimum ou un maximum.

Je déduis que la fonction f a un maximum

f(0) = 0 et la fonction f est positive donc minimum.
demi tangente horizontale pour la courbe.

Merci, sinon pour le (c)je dois utiliser la formule de dérivée f=u/v puis u*v ??

Utilise U/V, pour U' tu auras besoin de U*V

on a f = ((x²+x+1)/x^3)*(e^(-1/x)/x)

donc f=u/v

u= x²+x+1 u' = 2x+1
v= x^3 v' = 3x²

on applique la formule :

(2x+1)x^3-3x²(x²+x+1)
=x^3+2x^4-3x^4-3x^3-3x²
=-x^4-2x^3-3x²

puis on fait la même formule pour l'autre membre

Est-ce cela? merci,

Non pour u/v
u = (x²+x+1)*e^((-1)/x)
v = x²

Merci Noemi,

f(x) = (x²+x+1)/(x²) * e^((-1)/x)

On pose t(x) = (x²+x+1)/(x²) et h(x) = e^((-1)/x)

On a donc f = t * h

h'(x) = (1/(x²))*e^((-1)/x)

t'(x) = ((-x)²-2x)/(x^4) (on a utilisé u/v)

maintenant avec f = t * h (on utilise u*v)

cela donne f' = t' * h + h' * t

cela donne f(x) = ((-x)²-2x)/(x^4) * e^((-1)/x) + (1/(x²))*e^((-1)/x) * (x²+x+1)/(x²)

Est-ce bien cela ? merci

Une erreur de signe dans t'(x)
c'est
t'(x) = (-x²-2x)/(x^4)

rectifie dans l'expression de la dérivée et factorise.

Donc on a :

((-x²-2xe^((-1)/x))/x^4)+((x²+x+1e((-1)/x)/x^4)

= ((1-x)/x^4)*e^((-1)/x)

Cependant j'ai oublié une question dans l'énoncé :
2) On note g la fonction définie sur ]0;+OO[ par g(x) = f(x)-x*f'(x).
Montrer que dans ]0;+OO[ les équations g(x) = 0 et x^3 +x²+2x-1 = 0 sont équivalentes

Je suppose que je dois calculer g(x) et trouver que cela est équivalent à x^3+x²+2x-1 ?
merci pour votre aide

Oui commence par exprimer g(x) en fonction de x.

f(x)-x*f(x)

= ( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x² ) - x ( ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^4 )

= ( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x² ) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )

dois-je mettre au même dénominateur ou factoriser ?

Oui,
Réduis au même dénominateur puis factorise.

f(x)-x*f(x)

= ( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x² ) - x ( ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^4 )

= ( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x² ) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )

= x^3( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x^5 ) - x^2((1-x)*e^((-1)/x)) / x^5 )

ensuite je factorise la partie "(x²+x+1)" ?

( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x² ) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )

= x( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x^3 ) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )
tu mets en facteur e^(-1/x)/ x³

On a :
= x( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x^3 ) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )

= x( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )

après je ne vois pas comment mettre en facteur e^(-1/x)/x^3

x(x²+x+1) * e^((-1)/x) / x^3 - (1-x)*e^((-1)/x) / x^3 =
[ x(x²+x+1) - (1-x)] *e^((-1)/x) / x^3 =
..... Simplifie le terme entre crochets

[ x(x²+x+1) - (1-x)] *e^((-1)/x) / x^3

= x^3+x²+2x-1 * e^((-1)/x) / x^3

N'oublie pas les parenthèses :
(x^3+x²+2x-1) * e^((-1)/x) / x^3
qui s'annule si x³+x²+2x-1 = 0 avec x ≠0

Merci à vous pour votre aide et votre patience avec moi, bonne fin de soirée

L'important est que tu aies compris tout le raisonnement.