equation diferentielle

bonjour,

coment resoudre cette equation:

(1/x)y'(x)+(2x)y(x)=4x^2-2x

merci davance!^^

on va voir si je me souviens bien :
tu cherches une solution particulière et une solution homogène, et tu les additionnes
je veux bien te trouver la solution homogène :
y'/x + 2xy = 0
y' = -2x²y
si on prend y(x) = exp(-2/3 x^3)
en dérivant tu obtiens :
y'(x) = -2/3 * 3x² exp(-2/3 x^3)
y'(x) = -2x²exp(-2/3 x^3)
y'(x) = -2x² y

Pour la suite (ca me fait me replonger dans mes cours, c'est pas si mal), tu opères en faisant une variation de la constante :
Appelons $y_0$ ta solution particulière.
y(x)=(lambda)(x) $y_0$ (x) où (lambda)(x) définie et dérivable de ton intervalle de départ dans ton intervalle d'arrivée
on a $y_0$ diff/ 0 pour tout x app/ R donc on peut écrire :
(lambda)(x) = y(x) / $y_0$ (x)
on a y dérivable ssi (lambda) dérivable
y solution de ton équation (que nous allons appeler ensuite E avec (E) : a(x)y' + b(x)y = c(x) si on s'en re-sert et I ton ensemble de départ...)
equiv/ qqsoit/ x app/ I a(x)((lambda)' $x)y_0$ (x) + $lambda)(x)y_0$ '(x)) + $b(x)(lambda)(x)y_0$ (x) = c(x)
equiv/ qqsoit/ x app/ I a(x)(lambda)' $x)y_0$ (x) = c(x)
(ton expression se simplifie, je te laisse faire le calcul si ca t'amuse)
equiv/ qqsoit/x app/ I (lambda)'(x) = $c(x)/(a(x)y_0$ (x))

tu cherches une primitive de (lambda), tu la multiplies par $y_0$ et t'as ta solution particulière (je vais faire le calcul rapidement mais le calcul, ce n'est pas mon fort donc je ne peux que tu recommander de le refaire)

(lambda)'(x) = (4x² - 2x) / ((exp(-2/3 x^3) / x)
(lambda)'(x) = (4x - 2) exp(2/3 x^3)

ca m'a pas l'air tres drole à intégrer donc je te laisse le faire (la solution est peut etre evidente, mais j'ai la flemme de chercher :p)
tu as ensuite y(x) = $lambda)(x)y_0$ (x) + $mu)y_0$
avec (mu) app/ I

coment affirme tu y()0 diff/ 0

pour le reste je te remercie je men sortirai^^
merci encore

pardon je captais pas ke y0 est la soluce de lequa homogene
tout deviens claire maintenent^^