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Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
Fin 

Suites (Suite négative et encadrement)

- classé dans : Suites & séries

Envoyé: 31.12.2016, 09:14

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marky79310

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Bonjour, après avoir cherché de longues heures ces deux questions d'un devoir maison, je fais appelle à votre bienveillante aide:
Ce DM porte sur une suite (an), vérifiant deux propriétés: (an) est bornée et \forall n\in N, a_{n+1}\leq \frac{a_{n}+a_{n+2}}{2}
On pose par la suite b_{n}=a_{n+1}-a_{n}
Les premières questions consistaient à donner le sens de variation de bn, et simplifier et encadrer une somme pour montrer que a_{n}\leq a_{p}+(n-p)b_{p} \:\: \: (n,p\in N, n>p)
Là ou je bloque, c'est lorsqu'on peut demande, à l'aide de cette précédente inégalité, de montrer que (bn) est négative.....Car là, j'ai eu beau combiné les différentes inégalités, utiliser le fait que bn est croissante, donner une valeur particulière à p, je n'obtiens rien...la question ne doit pourtant pas demander une grande technicité, elle commence par "en dédiure que".....
Les question suivantes consistent à montrer que an coverge, que du coup bn converge vers 0. On pose ensuite B_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b_{k}} il faut montrer que Bn converge et donner sa limite.
C'est enfin dans la question suivante que la difficulté (pour moi) réapparait : on pose n,p\in N \: et\: n\geq 2p il faut montrer que 2(a_{n}-a_{p})\leq nb_{n-1} Et là encore, je ne vois pas comment faire, j'ai pensé à utiliser une somme (peut-être Bn), de la même manière que l'on a trouvé la première inégalité, mais ça donne pas grand chose...
Merci, par avance, de votre aide.






modifié par : mtschoon, 04 Jan 2017 - 14:51
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Envoyé: 31.12.2016, 14:42

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Bonjour,

Bien sûr, tu n'as pas donné l'énoncé en entier mais tu as écrit avoir prouvé que :

a_{n}\leq a_{p}+(n-p)b_{p} \:\: \: (n,p\in N, n>p)

A forciori, cette inégalité s'applique à p=n-1, vu que n > n-1

cela donne :

a_{n}\leq a_{n-1}+b_{n-1}

ce qui équivaut à b_{n-1} \ge a_n-a_{n-1}

or, vu que pour tout n,  b_n=a_{n+1}-a_n,

on a b_{n-1} = a_n-a_{n-1}

alors, je reste perplexe sur "=" et "≥" ...
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Envoyé: 31.12.2016, 18:57

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marky79310

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Pour information et pour compléter mon premier message, on nous demande de démontrer cette inégalité en commençant par simplifier \sum_{k=p}^{n-a}{b_{k}} Ce qui fait an-ap (somme télescopique), et puisque bn est croissant, on a:
\sum_{k=p}^{n-1}{b_{k}}\leq \sum_{k=p}^{n-1}{b_{p}}
D'ou a_{n}-a_{p}\leq (n-p)b_{p}
Mais je ne vois toujours pas comment montrer que bn est négative......

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Envoyé: 01.01.2017, 11:20

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Effectivement, si l'inégalité de départ est bonne, (bn) est bien croissante

Ensuite, tu as écrit :

Vu que (bn) est croissante,

\sum_{k=p}^{n-1}{b_{k}}\leq \sum_{k=p}^{n-1}{b_{p}}

Je reste perplexe...

(bn) étant croissante,

b_p \le b_{p+1} \le b_{p+2} \le ...\le b_{n-1}

Donc en ajoutant les bk (k variant de p à n-1) tu obtiendras une somme supérieure à la somme des bp et tu tombes sur une inégalité qui n'est pas celle proposée...

Alors, désolée, cet énoncé ne me convient vraiment pas...





modifié par : mtschoon, 02 Jan 2017 - 19:42
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Envoyé: 01.01.2017, 11:48

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marky79310

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Oui, au temps pour moi....je me suis trompé en recopiant (et pas qu'une fois), c'est bien a_{n}\geq a_{p}(n-p)b_{p}
.....Encore désolé....

modifié par : marky79310, 01 Jan 2017 - 11:51
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Envoyé: 02.01.2017, 14:59

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Finalement, si j'ai bien compris, après ta modification, l'inégalité est

a_{n} \ge a_p+(n-p)b_{p}

Pour prouver, avec cette inégalité, que (bn) est négative, tu peux peut-être envisager un raisonnement par l'absurde :

Supposer qu'il existe une valeur de p (p < n) telle que bp > 0

Trouver la limite de an lorsque n tend vers +∞

En déduire une contradiction avec le fait que (an) est bornée.

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Envoyé: 02.01.2017, 15:09

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marky79310

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Aaah! Merci, vraiment !
Car du coup on a, à p fixé, lim (n-p)=+infinie donc ap+(n-p)bp qui diverge (ap fixe, bp strictement positif) et donc (an) diverge, or (an) bornée d'où contradiction. C'est ça?
Et du coup, une piste pour l'encadrement?, on majore facilement 2(an-ap) par 2ap, mais je ne vois vraiment pas comme faire....
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Envoyé: 02.01.2017, 15:23

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C'est bon pour (bn) négative.

J'ignore de quel encadrement tu parles...
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Envoyé: 02.01.2017, 15:31

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marky79310

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En fait, il faut montrer que si n\geq 2p alors 2(a_{n}-a_{p})\leq nb_{n-1}\leq 0 La borne supérieur ne me pose pas vraiment problème, mais je vois pas comment montrer que 2(a_{n}-a_{p})\leq nb_{n-1}

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Envoyé: 02.01.2017, 16:40

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Je n'ai pas trop regardé, mais à première vue, tu peux peut-être utiliser le même type de méthode que pour l'inégalité précédente, mais en utilisant le fait que les bk sont inférieurs à bn-1, pour k variant de p à n-1

(bn) croissante

\Bigsum_{k=p}^{n-1}b_k \le \Bigsum_{k=p}^{n-1}b_{n-1}

d'où

a_n-a_p\le (n-p)b_{n-1}

il te reste à justifier que pour n ≥ 2p, (n-p)b_{n-1}\le \frac{n}{2}b_{n-1}
(Pense que bn-1 est négatif)
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Envoyé: 02.01.2017, 17:15

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marky79310

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Ah! ça y est j'ai compris! :
J'avais pensé à la somme mais ne voyais pas comment l'utiliser
n\geq 2p
2n-2p\geq n
n-p\geq \frac{n}{2}
or (bn-1) négatif, donc (n-p)b_{n-1}\leq \frac{n}{2}b_{n-1}
Il n'y a plus qu'à conclure!
Je sais pas comment vous remercier, encore une fois votre aide est profitable, merci ;)


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Envoyé: 02.01.2017, 19:41

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De rien !

A+
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