Trouver l'aire maximale d'un rectangle

ABC est un triangle isocèle en A tel que AB=3. On place un point M sur le segment (AC) et on trace le rectangle AMNP tel que N appartienne au segment (BC).

Existe t-il une position du point M pour laquelle l'aire du rectangle AMNP soit maximale ? Si oui, quelle est cette position et cette aire maximale ?

fichier math

Et en fait, je comprends strictement rien à cet exercice alors je vous demande de l'aide svp....

et c'est pour mardi 3 janvier........

Bonjour cedren,

Quelle méthode a été employée pour l'exercice indiqué dans le fichier ?

Commence par exprimer l'aire du rectangle en fonction de x.

Si on associe une fonction à cette aire, quel est le type de la fonction ?

Pour la méthode employée dans l'autre exercice, j'ai numérisé toute la résolution de l'exo ci dessous :

fichier math

Et voilà ce que j'ai commencé à faire mais j'suis pas sûr du tout :

fichier math

J'espère que ça va vous éclairer car pour moi, c'est la nuit noire !!!

Le calcul de l'aire du rectangle est faux.
Au départ 3 x 3 est l'aire du carré et les deux triangles n'ont pas la même aire.

Applique la relation Aire = Longueur x largeur
(3-x)x = ....
puis tu poses
f(x) = ....

Tu construis un tableau de valeurs
x 0 ; 1 ; 2 ; 3
f(x)
Tu traces la représentation graphique,

.....

Le calcul de BC n'est pas utile.

Je suis désolé mais je ne comprends pas plus ta réponse.
Pour moi, au départ, il y a 2 triangle et un rectangle AMNP ; je ne vois de quel carré tu parles ?
Je ne sais pas non plus poser f(x)
et comment construire un tableau de valeurs ? je suppose qu'il faut que j'ai d'abord f(x) pour ensuite remplacer x par différentes valeurs, c'est ça ?

J'suis désolé mais je patauge vraiment dans la choucroute.........

Aire d'un triangle c'est base x hauteur / 2
si tu fais 3 x 3 tu calcules l'aire d'un carré.

Si tu utilises les triangles, pour les aires
le triangle initial : 3 x 3 / 2
Pour les côtés de l'angle droit des autres triangles
3-x pour l'un et
x pour l'autre

Calcule l'aire du rectangle :
...

En fai, le prof nous fait faire un devoir maison alors qu'on a pas eu la moindre leçon dessus.
On a juste fait l'exo 3.2 qui concerne en plus une aire minimale et pas max et il nous l'a simplement fait écrire sans plus d'explications que ça....

D'accord,

suis les indications et propose tes éléments pour la question indiquée.

L'aire du rectangle :
3x3/2 -(3-x)²/2 - x²/2
développe et simplifie cette expression

Si je suis l'exo du prof 3.2, au départ, il me parle de modélisation avec le calcul de l'aire EFGH. Si je fais le parallèle avec mon exo, c'est l'aire de AMNP qu'il me faut calculer.
Si je comprends bien ton raisonnement, je dois calculer l'aire du triangle en entier pour ensuite calculer l'aire du rectangle ?

Non, en fait, tu as l'air de tout à fait comprendre ce qu'il y a à faire et je vois bien que tu essaies de me mettre sur la voie mais je suis désolé, je ne comprends pas.

Qu'est ce que je dois calculer en premier ? je n'ai qu'une seule longueur, c'est AB=3 ; pour (AC), je ne sais pas....................
non, vraiment, je vois pas

ah pardon, j'avais pas vu ta réponse, je vais essayer d'avancer avec ça ....merci.....je reviens un peu plus tard

La modélisation est correcte,

rectifie le f(x) à partir de l'expression que j'ai notée dans le précédent post.

Alors, si je te dis ça, est ce que je suis sur la bonne voie ?

= 3x3/2 -(3-x)²/2 - x²/2
= 4,5-(3-x)(3-x)/2-xx/2
= 4.5-6x-9+x²/2-x²/2
=-4.5-6x+x²/2-x²/2
=-4.5-6x

Des erreurs :
= 3x3/2 -(3-x)²/2 - x²/2
= 4,5-(3-x)(3-x)/2-xx/2
= 4.5-(-6x+9+x²)/2-x²/2
=...

je vois pas ?

Poursuis le calcul que j'ai écrit.
simplifie l'expression

non vraiment pas,
C'est possible de continuer à simplifier cela ?

Lorsque tu dis que ma modélisation est correcte, je modifie simplement là où j'ai écrit f(x)= 3*3-x(3-x)-x(3-x) et je change ce calcul par celui que tu me proposes, c'est ça ?

Oui,
Tu écris :
f(x) = 3x3/2 -(3-x)²/2 - x²/2
= 4,5-(3-x)(3-x)/2-xx/2
= 4,5-(-6x+9+x²)/2-x²/2
= 4,5+3x-4,5 -x²/2 - x²/2 à simplifier et ordonner
= .....

=4,5+3x-4,5 -x²/2 - x²/2
= 3x-x²/2-x²/2

c'est ça ?

=4,5+3x-4,5 -x²/2 - x²/2
= 3x-x²/2-x²/2

c'est ça ?

Tu peux encore simplifier
cela donne :
f(x) = 3x - x²

Ensuite construis un tableau de valeurs

mai si doit calculer l'aire du rectangle AMNP, pourquoi ne fait on pas tout simplement : longueur * largeur cad x * (3-x)

je dis certainement une bêtise mais bon ,je demande quand même

Peux tu m'expliquer le calcul du départ; comment as tu trouvé le calcul du départ et ça correspond à quoi en fait ?

Dans tous les cas, merci grandement de ton aide

Ta réponse est correcte, tu peux calculer simplement l'aire par la formule longueur x largeur = x(3-x).

C'est la réponse que j'ai formulée dans mon premier post.

Vu que tu ne comprenais pas, j'ai indiqué ensuite une réponse à partir de ton raisonnement.
(Aire du triangle de départ moins les aires des deux triangles)

encore une fois, merci grandement pour ton aide; je vais m'y atteler et j'espère aller au bout.

Bonnes fêtes

N'hésite pas à poster si tu as des questions.

Bonnes fêtes

Bonjour,

J'ai terminé l'exercice en tenant compte de ton aide précieuse ; je te l'envoie en espérant que cela soit juste. Pourrais-tu me faire un retour svp.

fichier math

Merci encore et à bientôt.

Quelques remarques :
Modélisation : il faut démontrer que les triangle CMN et NPB sont rectangle isocèle.
Pour l'étude du modèle : faire l'étude de 0 à 3 (et non 4)
Calculer la valeur de f(3/2) = 9/4,
Faire un tracé correct de la courbe pour x variant de 0 à 3 en plaçant le point (3/2;9/4)

Rechercher le signe de f(x) -f(3/2)
avant la conclusion.

En fait, cela ne s'arrête jamais cet exercice...

Il faut que je démontre qu'ils sont rectangle isocèle car on a choisi ce calcul ; si j'avais pris l'autre calcul ( aire du rectangle directement, j'aurais eu la même chose à faire ?
Quelle propriété dois je utiliser pour démontrer qu'ils sont rectangle isocèle ?

que veux tu dire par calculer la valeur de f(3/2)=9/4, c'est déjà fait non ?

Comment peut-on rechercher le signe de f(x)-f(3/2) ?

je pensais être au bout mais non, c'est reparti pour un tour....

Je réponds avec tes questions :
Il faut que je démontre qu'ils sont rectangle isocèle car on a choisi ce calcul ; si j'avais pris l'autre calcul ( aire du rectangle directement, j'aurais eu la même chose à faire ? Oui

Quelle propriété dois je utiliser pour démontrer qu'ils sont rectangle isocèle ?
Utilise la propriété de Thales

que veux tu dire par calculer la valeur de f(3/2)=9/4, c'est déjà fait non ?
Non, tu as noté dans le tableau de variations et sur la courbe f(3/2) = 2

Comment peut-on rechercher le signe de f(x)-f(3/2) ?
f(x) -f(3/2) = 3x -x² -9/4 = -(x²-3x+9/4)
= -(x-3/2)²
donc
f(x)-f(3/2) ≤ 0
soit f(x) ≤ .....

Merci pour toutes ces précisions....
je m'y attelle et, si tu veux bien, je t'enverrai le tout pour vérifier.
Merci bcp

C'est d'accord.

A+

Pour le théroème de thalès, est ce que c'est bien:
BN/PN=NC/NM=PB/CM ?

J'ai comme résulat :
x²/3-x/x=x*3-x/3-x/3-x=x/3-x

Mais je n'arrive pas a plus le simplifier

Et à quoi correspond f(x)-f(3/2) ?

Avec Thales :
NP/CA = PB/AB, comme CA = AB = 3, alors NP = PB = x.

une autre réponse possible
le triangle NPB est rectangle isocèle en P car l'angle NPB = 90° et l'angle PBN = 45°
donc NP = PB = x

f(x) -f(3/2) permet de montrer que f(3/2) est le maximum.

Mais avec ma courbe, j'ai trouvé que le maximum était 2 et qu'il était atteint en 1,5, et pas en 3

Et je ne comprend toujours pas pour Thalès..comment je peux savoir que l'angle PBN=45 degrès ? Et pourquoi ça veut donc dire que NP=PB=x

Le triangle initial est rectangle isocèle donc les angles aigus sont égaux à 45°.

Calcule f(3/2) =
= 3×3/2 -(3/2)²
= ....

mais pourquoi NP=PB=x ?

Je reprends,

dans le triangle PBN, l'angle P est droit et l'angle PBN = 45°, donc le triangle NPB est rectangle isocèle en P.
Donc PB = PN

Si on pose PN = x alors PB = aussi x

d'accord, merci beaucoup, je t'envoie donc ce que j'ai fais, peux-tu me dire si c'est juste?

fichier math