Valeurs propres - MATRICES

Bonjour,
J'ai fait un exercice similaire que je n'avais pas compris mais que j'étais arrivé à mener au bout grâce à de nombreuses recherches.
Mais pour celui là j'ai un petit problème de déterminant.

On considère la matrice A= $1amp;0)\begin{pmatrix} 0 & 1\ 1&0 \end{pmatrix}$

1) Déterminer les valeurs propres de A

det(A - $λ\lambda$ . I2)
$1amp;0−λ∣\begin{vmatrix} 0-\lambda &1 \ 1 & 0-\lambda \end{vmatrix}$
= (0- $λ2\lambda ^{2}$ )-1 =0
= (0- $λ\lambda$ - 1) (0- $λ\lambda$ +1)=0
$λ1=−1\lambda 1= -1$
$λ2=1\lambda 2= 1$

2) En déduire une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles que A= p^-1.D.P

$0amp;1)d=\begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Pour $λ1=\lambda 1=$
y= -x
x= -y
avec y=1
x et y= -1

Pour $λ2=\lambda 2=$
y= x
x= y
avec y=1
x et y= 1

Soit:
P-1= $−1amp;1)\begin{pmatrix} -1 & 1\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Pour obtenir P=
1/det(A) . $1amp;1)\begin{pmatrix} -1 &-1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$
mais le déterminant de cette matrice inverse vaut 0 .....

**3) Calculer p^-1

En déduire A^2 pour n∈N**

Merci pour vos pistes

Bonsoir dut,

Question 2)
vérifie le calcul de x et y pour λ1.

Bonsoir Noemi,
En fait je ne sais pas bien faire cette partie dans un exercice on avait pris y=1 mais je ne sais pas qu'elle valeur choisir.

Si tu prends y = 1, vu que x = -y,
x = -1
donc
.....

-1 est égal à moins lambda 1.

Donc je dois toujours prendre une valeur qui me donnera x= la valeur propre?

Non,

Il n'y a pas de lien avec les valeurs propres.

Comment je sais quelle valeur mettre alors?

Ou alors je prends une valeur au hasard mais en faisant attention que le résultat final soit différent de 0?

Bonsoir,

J'essaie de donner un coup de pouce pour soulager Noemi.

Dut, tu devrais revoir ton cours...

Je tente une explication mais ton cours doit te donner tous les détails , ce que nous ne pouvons pas donner ici.

Soit $x=\left[x\y\right]$ un vecteur propre

X satisfait à la condition $(a−λi2)x=0(a-\lambda i_2)x=0$

Après calculs, cela donne$\left{-\lambda x+y=0\x-\lambda y=0$ (***)

1er cas $λ=−1\lambda=-1$ ( première valeur propre)

(***) te donne $y = - x$

Tu peux donner à x la valeur de ton choixet en déduire la valeur correspondante de y , ce qui te permet d'obtenir la première colonne de P

Comme te l'a dit Noemi, si tu prends, par exemple x=1, tu obtiens y=-1
Ainsi, la première colonne de la matrice P est $1\-1$

2eme cas $λ=1\lambda=1$ ( seconde valeur propre)

(***) te donne $y = x$ **Tu peux donner à x la valeur de ton choix **et en déduire la valeur correspondante de y , ce qui te permet d'obtenir la seconde colonne de la matrice P
Pour x=1, y=1 d'où, pour la seconde colonne de P $1\1$

Tu peux donc prendre$p=\left[1\ \ \ 1\-1\ 1\right]$

Det (P)=2 don Det(P)≠0

Tu dois pouvoir, en appliquant ton cours, pouvoir obtenir $P^{-1}$ et $A^n$

c'est la seul parti de l'exercice non développé.
mais je crois avoir compris je peux prendre n'importe quelle valeurs pour X par exemple 2 puis 4.

Mais selon les valeurs nous n'auront pas tous les meme determinant.
et aussi pour lambda 1 je peux prendre 2 et pour lambda 2 je peux prendre 4? je ne suis pas obligé de prendre les mêmes valeurs à chaque fois?

Pour x, tu peux prendre n'importe qu'elle valeurs.
Par contre pour lamda, les valeurs propres sont à déterminer par l'annulation du déterminant et non à choisir.

J'ai compris merci.
J'ai essayé d'avancer l'exercice:

Donc P-1= $−1amp;1)\begin{pmatrix} 1& 1\ -1& 1 \end{pmatrix}$
Soit P= 1/2 $1amp;1)\begin{pmatrix} 1& -1\ 1& 1 \end{pmatrix}$
Soit $1/2amp;1/2)\begin{pmatrix} 1/2& -1/2\ 1/2& 1/2 \end{pmatrix}$

3) Calculer p^-1
Donner un peu plus haut

4) En déduire A^N pour n∈N
je trouve:

$1namp;0)\begin{pmatrix} 0 &1^n \ 1^n &0 \end{pmatrix}$

Pour la question 4), commence par calculer A²

Pourquoi A²?
la formule est A^n= P^-1.D^n.P
J'ai commencé à faire P^-1.D^n
Et avec ce résultat je l'ai multiplié par P

Bonsoir Noemi et Dut ,

Désolée d'intervenir une nouvelle fois...ça fait désordre !

Effectivement, la propriété de $A^n$ est usuelle, donc commencer par A² n'est pas utile, mais sans doute en faisant une faute de frappe, Dut a parlé de A² dans ton énoncé de départ...

Autre chose Dut, tes notations me laissent perplexe.

à la 2), tu parles de $P^{-1}$ .... ? ? ?

Logiquement, c'est P que tu trouves à la question 2) et tu dois calculer $P^{-1}$ à la question 3), comme demandé par ton énoncé.

Habituellement,

$a=p×d×p−1a=p\times d\times p^{-1}$

$an=p×dn×p−1a^n=p\times d^n\times p^{-1}$

Il nous a marqué dans le cours et dans les différents exercices fait que "l'assemblage" des deux valeurs U1 et U2 donne P^-1

et que 1/det(a) com(P^-1)transposé donne P.

Texte scanné supprimé après lecture.

Personnellement, j'ai toujours travaillé avec $A=PDP^{-1}$
Par définition, A est diagonalisable si on peut trouver une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que AP=PD d'où $A P P$ ^{-1} $PDP^{-1}$ d'où $strong>A=PDP^{-1}$
En conséquence, $< s t r o n g > A$ ^n $= P D$ ^n $P^{-1}$
D'ailleurs, dans l'exercice que tu proposes, P est demandé en 2) et $P^{-1}$ est demandé en 3) : c'est la démarche qui correspond aux notations que j'appelerais "usuelles"...
Tu vois bien que l'ordre des questions n'est pas adapté à ton cours...mais tu n'y peux rien.

Si les notations de ton cours diffèrent, suis ton cours, bien sûr.
Dans ton cours, ce que j'appelle P s'appelle $P^{-1}$ et ce que j'appelle $P^{-1}$ s'appelle P.
Ce ne sont que des notations, ça ne change rien au problème.

Pour information, je te mets un lien sur les notations qui ne sont visiblement pas celles de ton cours...

https://www.math.u-bordeaux.fr/~fsueur/fiche_diagonalisation.pdf

Bon travail.

merci j'essaie de terminer l'exo

En fait, en vu de mon cours joint.
Mon p et mon P^-1 sont justes?

Oui, les deux matrices sont justes .

Au final, quelles que soient les notations :

$a=\left[1\ \ \ 1\-1\ 1\right]\times \left[-1\ 0\0\ \ \ 1\right]\times \left[1/2\ -1/2\1/2\ \ \ 1/2\right]$

D'où

$a^n=\left[1\ \ \ 1\-1\ 1\right]\times \left[-1\ 0\0\ \ \ 1\right]^n\times \left[1/2\ -1/2\1/2\ \ \ 1/2\right]$

Commence par calculer $\left[-1\ 0\0\ \ \ 1\right]^n$
(vois "puissance d'une matrice diagonale" ça doit être dans ton cours )
Pour obtenir des résultats simples , je te conseille de faire deux cas : n pair et n impair.

*(la réponse que tu as donnée précédemment pour $A^n$ est inexacte) *

Si tu a besoin de vérifier tes résultats, je t'indique ce que tu dois trouver.

Pour tout n pair
$a^n=\left[1\ 0\0\ 1\right]$

Pour tout n impair
$a^n=\left[0\ 1\1\ 0\right]$

Bons calculs.

Je me rapproche de votre solution.

P= $1/2amp;1/2)\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

D^n= $0amp;1n)\begin{pmatrix} -1^n & 0\ 0 & 1^n \end{pmatrix}$
le produit des deux:
$(−1/2)namp;(1/2)n)\begin{pmatrix} (-1/2)^n & (-1/2)^n\ (-1/2)^n& (1/2)^n \end{pmatrix}$

P¨-1= $−1amp;1)\begin{pmatrix} 1& 1\ -1& 1 \end{pmatrix}$
et si on multiplie p-1 avec le produit de tout a l'heure:
$−1amp;0)\begin{pmatrix} 0& -1\ -1& 0 \end{pmatrix}$

comment faire pour faitre apparaitre pair /impair?

C'est faux...erreurs avec les puissances (revoir les propriétés de base des puissances)
Par exemple, (1/2) x $1)^n$ ≠ $1/2)^n$

Avant de te lancer dans le calcul de $A^n$ , commence par simplifier l'écriture de $D^n$ suivant la parité de n, car :

Pour n pair, $1)^n=1$

Pour n impair, $1)^n=-1$

Dans chaque cas, le calcul de $A^n$ sera très simple et aura un résultat très simple.

Pour n pair: je trouve le bon résultat

par contre pour n pair: je trouve le même résultat mais au lieu du 1 je trouve -1

Pour n impair (si c'est bien de cela dont tu parles)

$1)^n=-1$ et évidemment, que ne soit pair ou impair $1^n=1$

$a^n=\left[1\ \ \ 1\-1\ 1\right]\times \left[-1\ 0\0\ \ \ 1\right]\times \left[1/2\ -1/2\1/2\ \ \ 1/2\right]$

Tu termines le calcul.

De mon côté p et p^-1 est inversé, je garde la notation du cours.
$1/2amp;1/2)\begin{pmatrix} 1/2^n &-1/2 \ 1/2& 1/2 \end{pmatrix}$ x $0amp;1)\begin{pmatrix} -1 &0 \ 0& 1 \end{pmatrix}$

ce qui me donne: $−1/2amp;1/2)\begin{pmatrix} -1/2 &-1/2\ -1/2& 1/2 \end{pmatrix}$

Puis :

$−1/2amp;1/2)\begin{pmatrix} -1/2 &-1/2\ -1/2& 1/2 \end{pmatrix}$ x $−1amp;1)\begin{pmatrix} 1&1\ -1& 1 \end{pmatrix}$

= $(−1/2+1/2)amp;(−1/2+1/2))\begin{pmatrix} (-1/2+1/2) &(-1/2-1/2) \ (-1/2+1/2)& (-1/2 +1/2) \end{pmatrix}$

= $−1amp;0)\begin{pmatrix} 0 &-1 \ -1& 0 \end{pmatrix}$

Toujours erreurs ...

Reprenons !

Pour n impair :

Après avoir simplifié $D^n$ , il n' y a plus de "n" dans les calculs.

$a^n=\left[1\ \ \ 1\-1\ 1\right]\times \left[-1\ 0\0\ \ \ 1\right]\times \left[1/2\ -1/2\1/2\ \ \ 1/2\right]$

$\left[1\ \ \ 1\-1\ 1\right]\times \left[-1\ 0\0\ \ \ 1\right]=\left[-1\ 1\1\ \ \ 1\right]$

$a^n=\left[-1\ 1\1\ \ \ 1\right]\times\left[1/2\ -1/2\1/2\ \ \ 1/2\right]=\left[-1/2+1/2\ \ 1/2+1/2\1/2+1/2\ \ -1/2+1/2\right]$

$a^n=\left[0\ 1\1\ 0\right]$

j'inversais tout betement les notations.
J'ai compris merci beaucoup.
Je vous tiendrai en courant sur comment s'est passé le DS.

Bon DS !