fonction limite asymptote étude


  • E

    Bonjour, je bloque sur un exercice si vous voulez bien m'aider s'il vous plaît :

    énoncé :

    Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (ax²+bx+c) / (x²+1)
    représentée par C dans le repère suivant

    http://image.noelshack.com/fichiers/2016/44/1478194239-maths-dm4.jpg

    1.Déterminer graphiquement les réels a, b et c en justifiant vos réponses.

    2.Montrer que C admet une asymptote horizontale Delta

    3.Déterminer les réels alpha et beta tel que :
    f(x)= alpha + (Beta*x)/(x²+1)

    4.Dresser le tableau de variation complet de f.

    5.Déterminer les positions relatives de C et Delta

    1. (a) Montrer que, pour tout réel x, f(x)+f(-x)=6
      (b) Que peut-on déduire pour C ?

    2. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = f(|x|)
      (a) Déterminer la limite de g en - l'infini
      (b) Expliquer comment on peut obtenir la courbe représentative de g à partir de C

    Réponses :

    c =3 on le trouve grâce au point (0,3)
    puis pour a et b
    f(1)=(a+b+3)/2=5
    f(-1)=(a-b+3)/2=1
    on résout l'équation et on trouve : a = 3 ; b = 4

    pour le reste je bloque, merci à vous


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Tu sais donc que f(x)=3x2+4x+3x2+1f(x)=\frac{3x^2+4x+3}{x^2+1}f(x)=x2+13x2+4x+3

    Piste pour avancer,

    Pour le 2) cherche lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x\to \pm \infty}f(x)limx±f(x) et tire la conclusion.


  • E

    f(x) = (3x²+4x+3) / (x²+1)
    = (x²(3+(4/x)+(3/x²))) / (x²((x²/x²)+1))

    lim 4/x = 0
    lim 3/x² = 0

    Donc lim f(x) lorsque x tend vers +l'infini = 3/1 = 3
    et pour lim f(x) lorsque x tend vers - l'infini = (-3)/(-1) = 3


  • mtschoon

    C'est bon.

    Tu peux donc conclure que la droite (Δ) d'équation y=3 (représentée sur le schéma) est asymptote horizontale à la courbe.

    Pour la 3), il te suffit de décomposer le numérateur

    f(x)=3x2+3x2+1+4xx2+1=3(x2+1)x2+1+4xx2+1f(x)=\frac{3x^2+3}{x^2+1}+\frac{4x}{x^2+1}=\frac{3(x^2+1)}{x^2+1}+\frac{4x}{x^2+1}f(x)=x2+13x2+3+x2+14x=x2+13(x2+1)+x2+14x

    Tu simplifies la première fraction par (x²+1) et tu tires la conclusion.

    Cette transformation te sera utile à la question 5)

    Ensuite, tu passes à la question 4) : dérivée, signe de la dérivée, variations de f


  • E

    Merci à vous pour votre aide !


  • mtschoon

    De rien !

    A+


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