Valeurs propres d'une matrice 3x3
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Ddut dernière édition par
Bonjour,
Je suis en train de refaire un exemple du cours, mais je bloque sur une partie nécessaire pour la suite et fin d l'exemple.
(0amp;2amp;−1 3amp;−2amp;0 −2amp;2amp;1)\begin{pmatrix} 0& 2& -1\ 3 & -2& 0\ -2& 2 & 1 \end{pmatrix}(0amp;2amp;−1 3amp;−2amp;0 −2amp;2amp;1)En faisant det(A-λ\lambdaλ I3) = ∣(0−λ)amp;2amp;−1 3amp;(−2−λ)amp;0 −2amp;2amp;(1−λ)∣\begin{vmatrix} (0-\lambda )& 2& -1\ 3 & (-2-\lambda )& 0\ -2& 2& (1-\lambda ) \end{vmatrix}∣∣∣(0−λ)amp;2amp;−1 3amp;(−2−λ)amp;0 −2amp;2amp;(1−λ)∣∣∣
Puis la phrase qui me pose problème :
Les valeurs de lambda qui font que det(A-λ\lambdaλ I)= 0
λ1=1λ2=2λ3=−4\lambda 1= 1 \lambda 2= 2 \lambda3=-4λ1=1λ2=2λ3=−4
... au total 6 matrices diagonales possible
Merci pour votre explication.
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Bonjour dut,
Les valeurs possibles pour λ sont bien, 1; 2 et -4.
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Ddut dernière édition par
Merci Noemi,
Le problème c'est que je ne comprends pas comment sont trouvées les réponses.
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Combien as tu trouvé pour le déterminant ?
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Le det(A-λ) = ......
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Ddut dernière édition par
aucune idée, les lambda me bloquent....
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Comment calcule t-on un déterminant d'une matrice 3x3 ?
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Ddut dernière édition par
j'utilise Sirus
-2lamb - lamb^3 -6 +(-4-2lamb) + (6-6lamb)
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Vérifie le calcul, tu dois trouver :
-λ³ -λ² + 10λ - 8
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Ddut dernière édition par
d'accord
mais le résultat d'en haut est le déterminant? car il n'est pas simplifiable.et donc avec ça comment faire pour trouver:
Les valeurs de lambda qui font que det(A-\lambda I)= 0\lambda 1= 1 \lambda 2= 2 \lambda3=-4
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Comme λ = 1 est une racine évidente, tu factorises le polynôme (λ-1) puis tu résous l'équation du second degré.
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Ddut dernière édition par
désolé je bloque c'est trop abstrait je n'arrive pas à me représenter.
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Ddut dernière édition par
je ne comprends pas comment trouver les valeurs propres
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Tu résous l'équation :
-λ³ -λ² + 10λ - 8 = 0Une racine évidente 1
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Quelques calculs pour essayer de débloquer ta situation DUT.
En développant de déterminant Det(E-λI3I_3I3) comme tu l'as fait, tu te retrouves à résoudre une équation du 3ème degré...
Comme te l'a dit Noemi, c'est tout à fait possible vu qu'il y a une solution "évidente", mais pas possible si tu ne connais pas la méthode....Comme Det(E-λI3I_3I3)=0 une équation d'inconnue λ, au lieu de développer systématiquement, essaie defactoriser le plus possible
Une remarque ; ce n'est pas la règle de sirus, mais de Sarrus
Je te fais le calcul en développant la première ligne du déterminant
(Comme il s'agit d'une matrice 3x3, Sarrus convient mais j'ignore ce que te dit ton cours car il y a deux façons ( en ajoutant les deux premières colonnes à droite, ou en ajoutant les deux premières lignes en dessous)
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mtschoon dernière édition par
$\text{det(a-\lambda i_3)=0$
$(0-\lambda)\left|-2-\lambda\ 0\2\ \ \ \ 1-\lambda\right |-2\left|3\ \ \ \ 0\ -2\ 1-\lambda\right |-1\left|3\ \ -2-\lambda\-2\ \ \ 2\right|=0$
En calculant les déterminants d'ordre 2
(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−(6+2(−2−λ))=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-(6+2(-2-\lambda))=0(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−(6+2(−2−λ))=0
(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−6+4+2λ=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-6+4+2\lambda=0(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−6+4+2λ=0
(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−2+2λ=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-2+2\lambda=0(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−2+2λ=0
Observe qu'il y a le facteur (1-λ) dans les deux premières expressions et essaie de le faire apparaître dans la 3ème.
(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−2(1−λ)=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-2(1-\lambda)=0(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−2(1−λ)=0
Tu peux maintenant mettre (1-λ) en facteur
(1−λ)[−λ(−2−λ−6−2]=0(1-\lambda)[-\lambda(-2-\lambda-6-2]=0(1−λ)[−λ(−2−λ−6−2]=0
Tu développes et tu simplifies le second facteur qui sera du second degré seulement et tu trouves
(1−λ)[λ2+2λ−8]=0(1-\lambda)[\lambda^2+2\lambda-8]=0(1−λ)[λ2+2λ−8]=0
SOLUTIONS :
1er facteur nul 1−λ=01-\lambda=01−λ=0 Tu obtiens λ=1\lambda=1λ=1
2eme facteur nul λ2+2λ−8=0\lambda^2+2\lambda-8=0λ2+2λ−8=0
Equation de second degré que tu résous ( tu as vu ça l'an passé)
Tu obtiens après calculs λ=2\lambda=2λ=2 ; λ=−4\lambda=-4λ=−4
*Essaie de refaire cela pour t'entraîner.
Ensuite, tu peux refaire le calcul avec la méthode de Sarrus mais avec pour idée de factoriser ( non de tout développer)*
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mtschoon dernière édition par
Si tu veux voir (ou revoir ?) la méthode, par identification, de la factorisation d'un polynôme du 3ème degré, connaissant une solution "évidente" tu as un exemple ici.
En principe, on voit cela en 1S, mais dans ton cas, je ne sais pas ...http://www.mathforu.com/cours-90.html
Bon travail !
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Ddut dernière édition par
Merci beaucoup Mtschoon et Noemi c'est beaucoup plus clair.
Je reprends tout ça ce week-end.
Encore merci.Bon week-end.
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mtschoon dernière édition par
De rien .
A+