Approximation de e : suite
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Iinesm dernière édition par
Bonjour à tous!
Je suis en terminale S et je bloque sur la fin de mon DM de mathématiques.
Voici la question : Déterminer le plus petit entier n0n_0n0 tel que e−ue-ue−u_n0_00 ≤ 10−310^{-3}10−3 puis le calculer.
Sachant que unu_nun= 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n!
Dans des questions ultérieures j'ai montré que :
1+1/1! +1/2! +...+ 1/n! ≤ e ≤ 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n! + 1/n!
0 ≤ e −un-u_n−un ≤ 1/n!
0 ≤ e −u5-u_5−u5 ≤ 1/5! Donc u5u_5u5 ≤ e "environ inférieur ou égal" à u5u_5u5 +10−2+10^{-2}+10−2
Je pense qu'avec ces données je ne suis pas loin du but mais je peine depuis plusieurs jours à trouver une méthode...
Merci d'avance pour votre aide
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Bonsoir inesm,
1/5! = 0,008333 qui n'est pas ≤ 0,001
donc n0 > 5
1/6! = ....
1/7! = 0,000198....
donc
....
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Iinesm dernière édition par
Bonsoir,
Je ne comprends pas pourquoi vous partez de 1/5! sachant qu'on nous demande e - uuu_n0_00 ≤ 0.001.Mais si je suis votre démarche,
1/6! ≈ 0,0013888 est ≥ 0,001
Donc n0n_0n0=6
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Je suis partie de la fin de l'exercice, il est noté :
"0 ≤ e −u5-u_5−u5 ≤ 1/5! Donc u5u_5u5 ≤ e "environ inférieur ou égal" à u5u_5u5 +10−2+10^{-2}+10−2"Donc pourquoi ce choix de 5,
6 ne répond pas à la question car 0,001388... > 0,001
donc
....
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Iinesm dernière édition par
Ah d'accord!
Donc on a 1/6! >0,001
u6u_6u6 = 1+ 1/1! + 1/2! + 1/3! +1/4! +1/5! + 1/6! = 1957/ 720 ≈ 2.71
e- u6u_6u6 ≈ 0,000226
e - u6u_6u6 ≤ 1/6!
Je ne sais pas si je m'égard ou si j'avance...
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Non
n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
il faut prendre n = 7.
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Iinesm dernière édition par
Noemi
Non
n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
il faut prendre n = 7.Donc u7u_7u7 = 685/252 ≈ 2,718
1/7! = 0,00019841e- u7u_7u7 ≈ 0,00002786
e- u7u_7u7 ≤ 1/7!
Donc n0n_0n0 = 7 tel que e - uuu_n0_00 ≤ 10−310^{-3}10−3
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Iinesm dernière édition par
Noemi
Non
n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
il faut prendre n = 7.Donc u7u_7u7 = 685/252 ≈ 2,718
1/7! = 0,00019841e- u7u_7u7 ≈ 0,00002786
e- u7u_7u7 ≤ 1/7!
Donc n0n_0n0 = 7 tel que e - uuu_n0_00 ≤ 10−310^{-3}10−3
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Tu es sur de la relation :
0 ≤ e −un-u_n−un ≤ 1/n! ?
ce n'est pas :
0 ≤ e −un−1-u_{n-1}−un−1 ≤ 1/n! ??
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Iinesm dernière édition par
Oui j'en suis sure c'est dans l'énoncé!
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Bien
Et le unu_nun :
unu_nun= 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n!
Il est correct ?
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Iinesm dernière édition par
Oui il est dans l'énoncé également!
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Bien
donc n = 7.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
inesm, en passant, je regarde la question posée :
Citation
Déterminer le plus petit entier n0n_0n0 tel que e−Un0e-Un_0e−Un0≤ 10−310^{-3}10−3puisle calculer.Comme te l'a dit Noemi, 7 est la bonne réponse, mais faire les encadrements successifs ne me semble pas être la méthode attendue.
D'après l'énoncé, ill faut faire le travail en deux temps :
Trouver la formule à laquelle doit satisfaire n0n_0n0 PUIS le calculerOn sait que :
0≤e−un≤1n!0\le e-u_n\le\frac{1}{n!}0≤e−un≤n!1On cherche donc n tel que 1n!≤10−3\frac{1}{n!}\le 10^{-3}n!1≤10−3
Ceci équivaut à n!≥110−3n!\ge \frac{1}{10^{-3}}n!≥10−31 c'est à dire n!≥103,n!\ge 10^3,n!≥103, c'est à dire n!≥1000n!\ge 1000n!≥1000
n_0$ est donc la plus petite valeur naturelle telle que sa factorielle est supérieure à 1000
Il reste à calculer n0n_0n0
Les factorielles forment une suite croissante.
1!=..., 2!=...,3!=..., 4!=..., 5!=..., 6!=720, 7!=5040, 8!=..., .........
D'où n0n_0n0=...
A toi de voir inesm, la méthode qui te parait la plus satisfaisante.
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Iinesm dernière édition par
Bonjour,
Merci à vous pour votre réponse détaillée, j'ai tout compris avec aisance.
On a donc 6! < 1000
7! > 1000
D'où n0n_0n0 = 7Je pense que c'est effectivement plutôt cette méthode qui est attendue en raison de la question, et du niveau de terminale S.
Merci à @Noemie également pour sa patience
Bonne journée!
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mtschoon dernière édition par
De rien.
Bonne journée à toi et bon travail !