Limites par calculs directs (non DL)

Bonsoir a tous !

Alors voila je suis bloqué depuis une semaine sur deux limites qui sont les suivantes :

$lim⁡x→+∞[xln(x)−xx]\lim_{x\rightarrow +\infty } [x^{ln(x)}-x^{x}]$
$lim⁡x→0[x<em>sin(exp⁡x)+x</em>ch(1x)]\lim_{x\rightarrow 0 } [x<em>sin(\exp ^{x})+x</em>ch(\frac{1}{x})]$

Et voila ou j'en suis :
$lim⁡x→+∞[xln(x)−xx]=lim⁡x→+∞[exp⁡(ln(x)2)−exp⁡x∗ln(x)]\lim_{x\rightarrow +\infty } [x^{ln(x)}-x^{x}] = \lim_{x\rightarrow +\infty } [\exp ^{(ln(x)^{2})}-\exp ^{x*ln(x)}]$

Puis pour la deuxième limite ke sais qu'il faut utiliser le théorème des gendarmes, maisje n'aboutit a rien...

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement

Bonsoir,

Des pistes possibles.

Pour la première limite, je te suggère de mettre $x^{ln(x)$ en facteur.
Tu auras un produit de 2 facteurs .
Sauf erreur, ce produit doit tendre vers -∞

Pour la seconde limite, tu dois distinguer le cas x tend vers $0^+$ et le cas x tend vers $0^-$ (à cause de 1/x)
Je te suggère, dans chacun de ces deux cas, le changement de variable $x=1xx=\frac{1}{x}$
La limite en $0^+$ doit être +∞
La limite en $0^{- }$ doit être -∞

Reposte si besoin.

Lorsque je factorise par $x^{\ln x}$ je me retrouve avec une forme indéterminée:

$xln⁡x[1−xxxln⁡x]x^{\ln x}[1-\frac{x^x}{x^{\ln x}}]$

??

Mais du coup pour la deuxième limite dois-je utiliser le théorème des gendarmes ?

Merci pour votre réponse.

Evidemment, pour la première, si tu t'arrêtes ainsi, tu ne va pas aboutir...

Transformes $xxxlnx\frac{x^x}{x^{lnx}}$

$xxxlnx=xx−lnx=...\frac{x^x}{x^{lnx}}=x^{x-lnx}=...$

Pour cette expression isolée, tu dois trouver que la limite est +∞

Pour la seconde limite, sauf si l'énoncé écrit n'est pas le bon, je ne vois pas ce que vient faire le théorème des gendarmes...surtout qu'il n'y a pas UNE limite mais deux demi-limites différentes (à droite et à gauche)

Fais le changement de variable indiquée et les résultats se trouveront assez facilement.

Je retombe sur une forme indéterminée:

$\lim_{x\rightarrow +\infty } (-\ln x)= -\inft \ \ \lim_{x\rightarrow+\infty } x= +\infty$

Par somme c'est une FI...

Donc j'ai transformé cette expression par:

$x^{x}*x^{-\ln x}$

Mais toujours une FI.. malheureusement

transforme l'exposant x-lnx

$x−lnx=x(1−lnxx)x-lnx=x(1-\frac{lnx}{x})$

Lorsque x tend ver +∞, lnx /x tend vers 0 (c'est du cours de Terminale), donc 1-lnx/x tend vers 1
Le produit
$x(1−lnxx)x(1-\frac{lnx}{x})$ tend donc vers +∞ donc x-lnx tend vers +∞

oufff merci énormement j'ai enfin trouvé la limite qui est $−∞-\infty$ !

Néanmoins, pour la deuxième limite je ne vois toujours pas:

$lim⁡x→0+[1x]=+∞\lim_{x\rightarrow 0^{+}} [\frac{1}{x}]= +\infty$

Donc $lim⁡x→0+[ch(1x)]=+∞\lim_{x\rightarrow 0^{+}} [ch(\frac{1}{x})]= +\infty$

ET $lim⁡x→0+[x]=0+\lim_{x\rightarrow 0^{+}} [x]= 0^{+}$

Or par produit FI

Par ailleurs j'ai esssayé de factorisé l'expression par x mais je retombe sur une FI

Pour la seconde, fais le changement de variable que je t'ai indiqué (deux fois) pour éviter de tomber continuellement dans des FI

$x=1xx=\frac{1}{x}$

$xsin(e^x)+xch(\frac{1}{x})= \frac{1}{x}sin(e^{\frac{1}{x}})+\frac{1}{x}ch(x)=\fbox{ \frac{sin(e^{\frac{1}{x}})}{x}+\frac{ch(x)}{x}}$

1er cas : x tend xers $0^+$ X tend vers +∞

Tu cherches la limite de la formule encadrée (tu dois trouver +∞)

2ème cas : x tend xers $0^-$ X tend vers -∞

Tu cherches la limite de la formule encadrée (tu dois trouver -∞)

Donc si j'ai bien compris:

$lim⁡x→0+[x]=+∞\lim_{x\rightarrow 0^{+}}[x]= +\infty$

$lim⁡x→+∞[ch(x)]=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty }[ch(x) ]= +\infty$

$lim⁡x→+∞[x]=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty }[x]= +\infty$

Ainsi, par quotion

$lim⁡x→0+[ch(x)x]=+∞\lim_{x\rightarrow 0^{+}}[\frac{ch(x)}{x}]= +\infty$

Puis,

$lim⁡x→0+[sin(e1x)x]=+∞\lim_{x\rightarrow 0^{+}}[\frac{sin(e^{\frac{1}{x}})}{x}]= +\infty$

?

Vu que tu travailles avec la variable X (qui tend vers +∞), ne mets pas "x tend vers $0^+$ ", c'est incorrect.

J'ignore ce que veut dire "par quotion" ...

Lorsque X tend vers +∞, ch(X)/X tend effectivement vers +∞.
Si c'est indiqué dans ton cours, c'est bon.
Sinon, il faut que tu le justifies en prenant la définition de ch(X) et en utilisant les propriétés de l'exponentielle.

De plus, ta dernière limite écrite relative au sinus est fausse : revois là

Ensuite, il suffira de faire la somme de ces deux limites..

Désolé je voulais dire par "quotient":

$lim⁡x→+∞[ch(x)]\lim_{x\rightarrow +\infty }[ch(x)]$

$\lim_{x\rightarrow +\infty } [\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}]$

$=+∞=+\infty$

car: $lim⁡x→+∞[ex]=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty }[e^{x}]=+\infty$

$lim⁡x→+∞[e−x]=0+\lim_{x\rightarrow +\infty }[e^{-x}]=0^{+}$
Et la je ne comprend pas car par produit j'obtient une FI :

$lim⁡x→+∞[1x]=0+\lim_{x\rightarrow +\infty }[\frac{1}{x}]= 0^{+}$

Je te conseille de te faire une liste de toutes les formules usuelles de ton cours (ou ton cours de TS) pour connaître les réponses aux FI usuelles que tu peux utiliser sans démonstration.

$ch(x)x=ex+e−x2x=12exx+12e−xx\frac{ch(x)}{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2x}=\frac{1}{2}\frac{e^x}{x}+\frac{1}{2}\frac{e^{-x}}{x}$

$lim⁡x→+∞exx=+∞\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$ (c'est du cours de TS)

$lim⁡x→+∞e−xx=0\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0$ (il n'y a pas d'indétermination)

D'accord j'ai enfin aboutit au résultat merci

Du coup pour la limite en $0^-$ je procède exactement de la même manière ou pas ?

J'espère que tu as rectifié ton erreur sur le sinus et que tu as trouvé

$lim⁡x→+∞sin(e1x)x=0\lim_{x \to +\infty}\frac{sin(e^{\frac{1}{x}})}{x}= 0$

En ce qui concerne le second cas, effectivement, le principe est le même mais il faut refaire toute la démarche car certaines réponses varient...