3. Application- Complexes

Application- Complexes

  • I

    Bonjour !
    J'aurais besoin d'aide sur cet exercice.
    Exercice : Le plan est muni du repère orthonormé (o,i,j).
    On considère l'application affine f de P dans P qui a tout point M(x;y) associe le point M'(x';y') telles que :
    {x'=(-6/5)x+(8/5)y-8/5
    {y'=(8/5)x+(6/5)y-1/5.

    1)a. f est-elle bijective ? Justifier
    b.Déterminer l'ensemble des points invariant par f.
    c. Quel est l'image de la droite d'équation y=2x+1.
    2)On désigne par M(x;y) le point d'affixe z et par M' le point d'affixe z' où z et z' sont deux nombres complexes.
    a) Sachant que f(M)=M', exprimez z' en fonction de z.
    b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
    Merci d'avance.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste pour démarrer,

    1)a) f est bien une application de P dans P vu que tout M(x,y) a bien une image M'(x',y') par f

    Pour savoir si f est bijective, il faut que tu saches si tout M'(x',y') a bien un antécédent M(x,y) par f

    Pour cela, détermine x et y en fonction de x',y'.

    Sauf erreur, tu dois trouver :

    x=−3x′+4y′−410x=\frac{-3x'+4y'-4}{10}x=10−3x′+4y′−4​

    y=4x′+3y′+710y=\frac{4x'+3y'+7}{10}y=104x′+3y′+7​

    f est donc bien une bijection de P vers P

    Fais ces calculs et essaie de poursuivre.

    I 1 réponse
  • I

    J'ai trouver l'ensemble des points invariant par f est {M(0;1)}.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    C'est bien ça

    I 1 réponse
  • I

    Pour l'image de la droite droite d'équation y=2x+1 ça me semble difficile.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Dans la relation y=2x+1, remplace x et y par les expressions en fonction de x' et y' trouvées au 1)a)

    Après calculs et simplifications, tu dois obteniry'=2x'+1

    C'est donc la même droite : cette droite est globalementinvariante par f
    ( le point invariant (0,1) lui appartient)     )

    I 1 réponse
  • I

    Oui, j'ai compris.
    Pour 2)a
    z'=(-6/5 - (8/5)i)z barre -8/5 -(1/5)i.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Pour le 2)a), l'idée est la bonne mais vérifie les signes relatifs au coefficient de z‾\overline zz

    J'ai l'impression qu'il y a une faute (mais j'ai fait vite...)

    I 1 réponse
  • I

    Oui, le coefficient de z barre est (-6/5 +(8/5)i).

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    C'est bien ça maintenant.

    I 1 réponse
  • I

    z'-i=(-6/5-(8/5)i)(z-i) barre
    Je n'ai jamais rencontré ce genre de transformation.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    J'ignore ce que dit ton cours...

    La forme complexe de f est :

    z′=az‾+b avec a=−6+8i5 et b=−8−i5z'=a\overline z +b\ avec\ a=\frac{-6+8i}{5} \ et \ b=\frac{-8-i}{5}z′=az+b avec a=5−6+8i​ et b=5−8−i​

    f est la similitude indirecte de centre Ω (d'affixe i) (le point invariant), composée de l'homothétie de centre Ω et de rapport |a| et de la symétrie orthogonale d'axe (D)(droite d'équation y=2x+1, globalement invariante)

    Si tu ne l'a pas vu en cours, aide toi des questions précédentes.

    Tu peux aussi faire des recherches sur "similitude indirecte" sur le web.

    I 1 réponse
  • I

    Merci beaucoup :)et bonne journée !

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    De rien et bon travail !

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