Etudier la croissance d'une suite et trouver son expression et sa limite


  • E

    Bonsoir, j'ai un petit problème avec cette exercice, je n'arrive pas à le résoudre si vous pourriez bien m'aider s'il vous plaît, merci :

    énoncé : U0 > 0
    Un+1 = (Un)²

    a) Montrer par récurrence que si U0 > 1 alors Un>1. En déduire que la suite Un est croissante
    b) Montrer par récurrence que si U0 < 1 alors Un<1. En déduire que la suite Un est décroissante.
    c) Que dire si U0 = 1 ?

    1. Exprimer u1 et u2 en fonction de u0. En déduire l'expression de Un. Démontrer votre résultat.
    2. Déterminer la limite de Un selon les valeurs de U0

  • mtschoon

    Bonsoir,

    Quelque pistes pour démarrer,

    1)a)

    L'initialisation est "évidente"

    Pour l'hérédité

    UnU_nUn > 1 => (Un(U_n(Un)² > 1² => (Un(U_n(Un)² > 1 => Un+1U_{n+1}Un+1 > 1

    Pour la conséquence relative au sens de variation, tu peux déterminer le signe de UUU_{n+1}−Un-U_nUn

    UUU_{n+1}−U-UU_n=(Un=(U_n=(Un−U-UU_n=U=U=U_n(Un(U_n(Un-1)

    Tu détermines le signe du produit de facteurs et tu tires la conclusion.


  • E

    1. a) Initialisation : Vérifions que Un est vraie avec une valeur n=0
      u1 = U0²
      = 2²
      Un est vraie

    Hérédité :
    Un > 1 => (Un)² > 1² => (Un)² > 1 => Un+1 > 1

    Conclusion : Pour tout n appartenant à N si et seulement si u0 > 1 alors Un > 1

    Un+1-Un=(Un)²-Un=Un(Un-1)
    Un(Un-1)>0 puisque un>1

    1. Initialisation : Vérifions que Un est vraie avec une valeur n=0
      u1 = U0²
      = 0²
      Un est vraie

    Hérédité :
    Un < 1 => (Un)² < 1² => (Un)² < 1 => Un+1 < 1

    Conclusion : Pour tout n appartenant à N si et seulement si u0 < 1 alors Un < 1

    Un+1-Un=(Un)²-Un=Un(Un-1)
    Un(Un-1) < 0 car Un < 1

    Est-ce bien cela ? merci


  • mtschoon

    Pour le 1), l'idée est bonne.

    Quelque points à voir.

    Pour les initialisations, si l'énoncé te précise que n ∈ N, il suffit de donner à n la valeur 0 (ce n'est pas la peine d'utiliser U1)

    Pour le 1)a) , effectivement, vu que UnU_nUn > 1 nécessairement UnU_{n }Un> 0 donc UUUn(Un(U_n(Un-1) > 0 donc UUU{n+1}−Un-U_nUn > 0 donc Un+1U_{n+1}Un+1 > UnU_nUn donc suite croissante

    Pour le 1)b) ( tu as mis 2, mais je suppose que c'est une erreur), ce que tu indiques n'est pas suffisant.
    Il faut que tu justifies pourquoi Un > 0 (pour pouvoir trouver UUU_n(Un(U_n(Un-1) < 0


  • E

    D'accord

    c) U0 = 1 La suite est ni croissante ni décroissante
    2. u1 = (U0)²
    u2 = (U0)²
    Un+1 = (un)²
    Racine carré de Un+1 = un


  • mtschoon

    Pur le c), tu peux dire que la suite est constante.

    Revois le 2

    UUU_1=(U0)2=(U0)^2=(U0)2

    Attention à U2U_2U2

    <strong>U<strong>U<strong>U_2=(U=(U=(U_1)))^2=((U0)=((U0)=((U0)^2)))^2=(U=(U=(U_0)4)^4)4

    Pour conjecturer la formule générale (que tu démontreras après), continue de calculer U3U_3U3, U4U_4U4,... en fonction de U0U_0U0


  • E

    U3 = (u0^4)^2
    U4 = (u0^8)^2 etc...


  • mtschoon

    oui, mais transforme un peu avec les propriétés des puissances pour arriver à conjecturer une expression générale.

    u3=(u0)8  u4=(u0)16u_3 =(u_0)^8 \ \ u_4 =(u_0)^{16}u3=(u0)8  u4=(u0)16

    Ensuite, tu trouves

    u5=(u0)32  u6=(u0)64u_5=(u_0)^{32} \ \ u_6=(u_0)^{64}u5=(u0)32  u6=(u0)64

    etc

    Observe les exposants obtenus qui sont des puissances de 2

    8=23  16=24  32=25  64=26  etc8=2^3\ \ 16=2^4\ \ 32=2^5\ \ 64=2^6\ \ etc8=23  16=24  32=25  64=26  etc

    Avec tous ces éléments, tu dois pouvoir conjecturer l'expression de unu_nun


  • E

    Un = (U0)^2


  • mtschoon

    non...observe mieux


  • E

    A chaque prochain terme on ajoute "^2"
    donc Un = (U0)^2n


  • mtschoon

    Presque mais pas tout à fait.

    L'exposant de U0U_0U0 doit être 2n2^n2n

    un=(u0)2nu_n=(u_0)^{2^n}un=(u0)2n

    Il te reste à faire une récurrence pour le démontrer mathématiquement.


  • E

    Très bien, donc pour les limites lorsque/
    U0 > 1 limite Un = + l'infini
    U0 < 1 limite Un = - l'infini
    U0 = 1 limite Un = 1

    Est-ce cela ? merci


  • mtschoon

    Pour U0U_0U0 > 1, c'est exact

    Pour U0U_0U0 = 1, c'est exact

    Pour 0 < U0U_0U0 < 1, c'est inexact


  • E

    Limite de Un lorsque U0 = 1 est ]0;1[ mais je ne vois pas comment l'écrire


  • mtschoon

    Je ne comprends pas ce que tu veux dire dans ton dernier message ....

    Pour U0U_0U0=1, tu as justifié précédemment que dans ce cas, la suite est constante.

    Donc, pour tout n de N, UUU_n=U0=U_0=U0=1

    La limite est donc forcément égale à 1

    $\fbox{\lim_{n\to +\infty}u_n=1}$

    Pour 0 < U0U_0U0 < 1, la réponse que tu as proposée (-∞) ne peut pas être exacte vu que tu as prouvé précédemment que pour tout n de N, UnU_nUn est positif.

    Regarde ton cours sur " fonction exponentielle"


  • E

    D'accord vu que Un est positir la limite de Un, pour 0 < U0 < 1,
    Lim Un = 1


  • mtschoon

    non.

    0 < U0 < 1, si tu utilises les propriétés de la fonction exponentielle, lorsque n tend vers +∞, la limite de UnU_nUn sera 0


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