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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Demonstration fonction polynôme du second degré

- classé dans : Second degré & polynômes

Envoyé: 11.09.2016, 16:22

Constellation


enregistré depuis: oct.. 2014
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Bonjour,

J'ai une demonstration à faire, la consigne est la suivante :

Demontrez la croissance stricte de f sur ]-\infty ; \alpha ] si a < 0

Voilà ce que j'ai mis, pourriez vous me dire les erreurs que j'ai éventuellement faites? Mon prof est assez embêtants, il veut des rédactions parfaites, donc si j'ai oublié de mettre des choses, pourriez vous me le signaler?

Soit f une fonction polynôme du second degré de forme canonique a(x-\alpha )^{2}+\beta

Soit C \in ]-\infty ; \alpha ].

d \in ]-\infty ;\alpha ]

a < 0 et c < d

\alpha \leq c<d
<img style="vertical-align:middle;" alt="0\leq c-\alpha

La fonction carré est strictement croissante sur. ] -∞ ; α ] quand a<0

(c-\alpha )^{2}< (d-\alpha )^{2}

a(c-\alpha )^{2}< a(d-\alpha )^{2}

a(c-\alpha )^{2}+\beta < a(d-\alpha )^{2}+\beta

f(c) < f(d)

Donc f est strictement croissante sur ] - ∞ ; α ] quand a < 0


Merci de votre reponse


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Envoyé: 11.09.2016, 17:27

Modératrice


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Bonsoir LilouFandesMaths,

La démonstration n'est pas correcte.
Quelle est propriété à utiliser pour montrer q'une fonction est croissante ?

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Envoyé: 11.09.2016, 17:41

Constellation


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f strictement croissante sur un intervalle I signifie que :
pour tout reel a et b de I, si a<b alors f(a) < f(b )

Je pense?
Top 
Envoyé: 11.09.2016, 17:53

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Oui,

tu as pris
Soit c et d ∈ ]-∞;α]
avec c < d

alors c - α < d - α
que peut on dire du carré ?
Top 
Envoyé: 11.09.2016, 18:46

Constellation


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Il sera positif...
Top 
Envoyé: 11.09.2016, 18:56

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Oui

le carré est positif mais le signe de chaque membre avant d'élever au carré est ...... ?
d'ou l'inégalité ?
Top 
Envoyé: 11.09.2016, 19:07

Constellation


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Le signe est negatif, donc il faudra changer le signe

( c-a) ² > (d-a ) ²

Mais le soucis, c'est qu'après la propriété citée juste avant de fonctionne plus...
Top 
Envoyé: 11.09.2016, 20:57

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Tu multiplies ensuite par a et a <0,
donc le sens de l'inégalité .....
Top 
Envoyé: 12.09.2016, 21:21

Constellation


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Change... Ah oui, puisque multiplier ou diviser par un nombre négatif change le signe de l'inégalité...
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Envoyé: 13.09.2016, 22:07

Constellation


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J'ai refait ma démonstration en tenant compte de vos remarques...

Soit une fonction polynôme du second degré de forme canonique f(x) = a(x-α)²+β

Soit c ∈ ] -∞; α] ; d ∈ ] -∞ ; α] ; c < d ; a<0

c < d ≤ α

c-α < d-α ≤0

La fonction carré est strictement décroissante sur ] - ∞ ; α ]

(c-α)² > (d-α)²

a (c-α)² < a (d-α)² puisque a<0

a(c-α)²+β < a(d-α)+β

f(c) < f(d)

Or une fonction f strictement croissante croissante sur un intervalle I signifie que :
pour tout a et b de I, si a<b alors f(a)< f(b)

Conclusion : La fonction polynôme du second degré est strictement croissante sur ]-∞; α] quand a<0
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Envoyé: 13.09.2016, 22:21

Modératrice


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C'est correct.
Top 
Envoyé: 14.09.2016, 17:14

Constellation


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Super ! Merci beaucoup !!
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