Arithmétique - Nombre de diviseurs


  • I

    Bonjour j'aurais besoin de votre aide sur cet exo :
    a et b sont deux entiers naturels et N=2aN=2^aN=2a×3b3^b3b et tels que le nombre des diviseurs de N2N^2N2 est le triple du nombre des diviseurs de N.
    1)prouvez que (a-1)(b-1)=3
    2) Deduisez-en les valeurs de N.
    Merci d'avance.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste,

    n=2a×3bn=2^a\times 3^bn=2a×3b

    le nombre de diviseurs de N est (a+1)(b+1)

    n2=22a×32bn^2=2^{2a}\times 3^{2b}n2=22a×32b

    le nombre de diviseurs de N² est (2a+1)(2b+1)

    Tu as donc l'égalité :

    (2a+1)(2b+1)=3(a+1)(b+1)(2a+1)(2b+1)=3(a+1)(b+1)(2a+1)(2b+1)=3(a+1)(b+1)

    Tu développes, tu simplifies et tu dois trouver, sauf erreur

    ab−a−b+1=3ab-a-b+1=3abab+1=3

    Tu vérifies que (a-1)(b-1)=ab-a-b+1, d'où la réponse souhaitée.

    Cette égalité démontrée te permet de trouver les valeurs possibles de a et b, puis de N.

    Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification.


  • I

    J'ai compris a=2;b=4 ou a=4;b=2.
    Les valeurs de N sont donc: N=22N=2^2N=22×343^434 ou N=24N=2^4N=24×323^232.Merci beaucoup.


  • mtschoon

    C'est bon.

    Bien sûr, termine les deux calculs pour expliciter les deux valeurs de N trouvées.


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