Suite avec récurrence


  • S

    Bonjour,
    J'ai 56 ans et je reprends des études. Je dois acquérir le niveau TS! J'étudie par moi-même avec différents livres et cours gratuits Internet, mais c'est difficile!
    Concernant l'exercice suivant, je n'arrive pas à réaliser l'hérédité:

    On considère la suite (Un), et pour tout n∈N :
    U0=1
    Un+1 = (1/3)*Un + n-2

    Démontrer que pour tout n∈N, Un= (25/4)*(1/3)^n + (3/2)*n - (21/4).

    Voici ce que j'ai fait:

    Utilisons le raisonnement par récurrence, puisque la propriété dépend d'un entier naturel n.
    Initialisation :
    uo= (25/4)*1 - (21/4) =1
    uo=1
    La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

    Hérédité :
    En utilisant l'hypothèse de récurrence, supposons que, k étant un entier naturel fixé et k≥uo , la propriété suivante est vraie :
    Uk= (25/4)(1/3)^k + (3/2)k – (21/4),
    alors la propriété Uk+1= (25/4)
    (1/3)^k+1 + (3/2)k+1 – (21/4) doit également être vraie.
    Démonstration :
    Uk+1 = (1/3)Uk + k-2
    = (1/3)
    [ (25/4)
    (1/3)^k + (3/2)k – (21/4)]+ k – 2
    = (1/3)
    (25/4)
    (1/3)^k + (1/2)k – (7/4)+ k – 2
    = (25/4)
    (1/3)^(k+1) + (1/2)*k – (7/4)+ 2/2k – 8/4

    = (25/4)*(1/3)^(k+1) + (3/2)*k – (15/4)

    Je n'arrive pas à trouver la solution...
    Je vous remercie d'avance. 😄


  • S

    Rebonjour,
    Je n'arrive toujours pas à trouver la solution, où ai-je fait une erreur?
    Merci d'avance


  • N
    Modérateurs

    Bonjour seccotine,

    Pas d'erreur dans le raisonnement
    mais tu dois trouver à la fin (3/2)*(k+1) et non (3/2)*k
    donc si tu ajoutes 3/2, Il faut les soustraire
    et -15/4 - 3/2= ......


  • S

    Bonjour Noemi,
    Merci pour votre réponse, est-ce donc ceci? Uk+1= (25/4)*(1/3)^(k+1) + (3/2)*k +3/2 – (15/4) - (3/2)
    Je n'aurais jamais trouvé!
    Merci encore
    Cordialement


  • N
    Modérateurs

    Oui,
    C'est le calcul à écrire.


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