Exercice sur les espaces vectoriels


  • F

    Bonjour à tous !
    J'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice concernant les espaces vectoriels. Voici le sujet:

    Dans l'espace vectoriel $$mathbb{R}$^4$, on considère les vecteurs:
    u=(1,3,2,1), v=(-4,3,7,-1), w=(2,1,-1,1)
    et F=Vect(u,v,w) le sous-espace vectoriel de $$mathbb{R}$^4$ engendré par u,v et w. On considère de plus: G={(-2x+y, -x+2y,x+3y,-x+4y)∈$$mathbb{R}$4^44}_{(x,y)∈mathbbRmathbb{R}mathbbR2}$.

    1- Déterminer une base et la dimension de F.
    2- Demontrer que G est un sous-espace vectoriel de $$mathbb{R}$^4$, dont on déterminera une base et la dimension.
    3- Déterminer une base et la dimension de F∩G. A-t-on F+G ? (ici le "+" désigne une somme directe)
    4- Déterminer une base et la dimension de F+G. (ici le "+" ne désigne pas une somme directe)
    5- compléter la base obtenue de F+G en une base de $$mathbb{R}$^4.EndeˊduireunsuppleˊmentairedeF+Gdans. En déduire un supplémentaire de F+G dans .EndeˊduireunsuppleˊmentairedeF+GdansmathbbRmathbb{R}mathbbR^4$.
    6- Quelles sont les coordonnées de α=(1,1,1,1) dans cette base ?

    Pour la première question, j'ai montrer que:
    λ1_11u+λ2_22v+λ3_33w=0
    ⇔ λ2_22= 35\frac{3}{5}53λ3_33
    λ1_11=−25\frac{-2}{5}52λ3_33
    Donc u,v et w sont liées donc la dimension de F est 2 et une base de F est BFB_FBF=(u,v)

    Pour la deuxième question, j'ai montré que:
    G=Vect((-2,-1,1,-1);(1,2,3,4))=Vect(a,b)
    Comme a et b ne sont pas colinéaires, alors dim(G)=2 et une base de G est : BGB_GBG=(a,b).

    Pour la question trois, je ne suis pas sur que j'ai le bon raisonnement.
    J'ai montré que la famille (u,v,a,b) était une famille libre et on en déduit que dim(F∩G)=4 et qu'une base est BF∩GB_{F∩G}BFG=(u,v,a,b).

    J'ai ensuite dit que la somme F+G n'est pas directe car F∩G contient une base, donc leur intersection est non vide. Donc F∩G≠{0} ⇒ F+G n'est pas une somme directe.

    Mais je ne pense pas que ça soit le bon raisonnement pour la dimension et la base de F∩G car pour la question 4, il y a une contradiction.

    Pour la question 4, j'ai déterminer la dimension de F+G à l'aide de la formule de Grassmann:
    dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F∩G) ⇔ dim(F+G)= 2+2-4=0.
    Je ne pense pas que ça soit possible. Et je ne sais pas comment déterminer cette base.

    Pour la question 5 et 6, je n'ai pas pu les faire n'ayant pas la base de F+G.

    Je vous remercie d'avance pour votre aide et je vous souhaite une bonne journée ! 😄


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je regarde tes résultats.

    Pour la 1), oui pour la démarche mais vérifie tes calculs.
    Je les ai tapés rapidement à la calculatrice (donc une faute de frappe est toujours possible, bien sûr)
    J'obtiens :w=23u−13vw=\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}vw=32u31v

    Donc, vérifie.

    Effectivement, ta démarche pour la 3) est bizarre

    dim F =2 et dim G=2 donc dim(F∩G)≤2

    Les éléments de F sont de la forme αu+βv\alpha u +\beta vαu+βv
    Les éléments de G sont de la formeγa+δb\gamma a +\delta bγa+δb

    Les éléments de l'intersection satisfont à
    αu+βv=γa+δb\alpha u +\beta v=\gamma a +\delta bαu+βv=γa+δb
    Cela conduit à un système d'équations permettant de déterminer l'intersection.
    D'après mes calculs (seulement fait à la calculette), δ=0\delta=0δ=0
    {a} est base de (F∩G)
    dim((F∩G)=1

    dim(F+G)=dimF+dimG-dim(F∩G)=2+2-1=3

    La somme F+G n'est pas directe

    Base de F+G ={u,v,a}

    Je te laisse poursuivre.

    Bon travail .


  • F

    Bonjour mtschoon,
    J'ai refait mes calculs pour la 1 est j'ai retrouvé w=(-2/3)u+(1/3)v

    J'avais commencé à résoudre ce système et j'avais aussi trouvé que δ=0 mais je ne savais pas si ça suffisait à montré que a était une base de F∩G.
    J'ai donc fait la suite en supposant que dim(F∩G)=1. Pour la question 4 j'avais trouvé dimF+G=3 et que sa base est B=(u,v,a).

    Pour la question 5, j'ai montré que la famille (u,v,b,e1e_1e1) était une famille libre (avec e1e_1e1=(1,0,0,0). On en déduit que c'est une base de $$mathbb{R}$^4$ et que Vect(e1Vect(e_1Vect(e1) est un supplémentaire de F+G dans $$mathbb{R}$^4$.

    et pour la question 6, j'ai trouvé les coordonnées suivantes :
    α===\frac{1}{5}u+u+u+\frac{1}{5}b+b+b+\frac{3}{5}e1e_1e1.

    Merci beaucoup mtschoon pour votre aide !


  • mtschoon

    Pour le premier, vérifie encore

    Ma calculette m'a renvoyé −23u+13v+w=0-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v+w=032u+31v+w=0 d'où ma proposition w=23u−13vw=\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}vw=32u31v

    (mais je n'ai pas recompté "à la main" )

    Pour F∩G, vu queδ=0\delta=0δ=0 , les éléments de F∩G sont de la formeγa\gamma aγa

    a étant non nul, {a} est une base de F∩G

    Pour la 5), la famille (u,v,a) est une base de E+F, donc c'est la famille (u,v,a,e1) qui doit être une base de R4R^4R4

    C'est peut-être ce que tu as voulu écrire.

    Bon travail.


  • F

    Bonjour mtschoon,

    pour la question 1 j'avais mal écrit ma réponse ! Je trouve également -23\frac{2}{3}32u+13\frac{1}{3}31+w=0

    D'accord, merci.

    Euh oui, je me suis trompé.

    Merci mtschoon pour vos explications ! Bonne journée.


  • mtschoon

    De rien !


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