Trouver les solutions d'une équation différentielle


  • D

    Bonjour,

    j'ai du mal à faire deux équations différentielles.

    pour commencer:

    quelle est la solution de 7y'+42y=0 avec y'(0)=9
    j'ai trouvé y'(t)= -42/7 λ\lambdaλe^-42/7
    ou -6 λ\lambdaλe^-6

    je suis bloqué après


  • mtschoon

    Bonjour,

    Ta réponse est très confuse.

    Regarde la méthode de ton cours

    7y'+42y=0 <=> 7y'=-42y <=>y'=-6y

    Tu as une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy=ay

    Les solutions sont les fonctions de la forme y(t)=λeaty(t)=\lambda e^{at}y(t)=λeat

    Ici, tu obtiens donc :$\fbox{y(t)=\lambda e^{-6t}}$

    Tu dois trouver la solution particulière qui vérifie y′(0)=9y'(0)=9y(0)=9

    Tu calcules donc y'(t)

    La relation y'(0)=9 te donnera la valeur de la constante λ


  • D

    y′(t)=−6λexp(−6t)y'(t)= -6\lambda exp(-6t)y(t)=6λexp(6t)

    y′(0)=9y'(0)= 9y(0)=9

    y′(0)=−6λexp(−6∗0)=−6λy'(0)= -6\lambda exp(-6*0)= -6\lambday(0)=6λexp(60)=6λ

    λ−9/6\lambda -9/6λ9/6

    y(t)=−9/6texp(−6t)y(t)= -9/6t exp(-6t)y(t)=9/6texp(6t)

    dans les réponses données j'ai -63/42exp(-6t) qui est identique à la réponse précédente( si je ne me trompe pas il suffit de * numérateur et dénominateur par 7)


  • mtschoon

    Oui, c'est ça.

    D'ailleurs, la constante peut-être simplifiée davantage (par 3)

    La meilleure écriture de la réponse est :

    $y(t)=-\frac{3}{2}e^{-6t$


  • D

    Merci

    je suis un peu perdu pour 7y'+35y=0 avec y'(9)=11

    y'=-35/7

    −35/7λexp(−45)-35/7 \lambda exp(-45)35/7λexp(45)


  • D

    avec ce que j'ai pu faire j'arrive à determiner que la réponse est -77/35e^-5(t-9)

    Mais je ne comprends pas tout


  • mtschoon

    Prends l'habitude de simplifier

    Je détaille car je ne comprends guère ta démarche

    7y'+35y=0 <=> 7y'=-35y <=> y'=(-35)/7y <=> y′=−5yy'=-5yy=5y

    En appliquant ton cours :

    $\fbox{y(t)=\lambda e^{-5t}}$

    Pour trouver la valeur de λ

    tu dérives :

    y′(t)=−5λe−5ty'(t)=-5\lambda e^{-5t}y(t)=5λe5t

    y′(9)=11↔−5λe−45=11y'(9)=11 \leftrightarrow -5\lambda e^{-45}=11y(9)=115λe45=11

    tu isoles λ (et bien sûr, il faut utiliser les propriétés des puissances)

    λ=11−5e−45=−115e45\lambda=\frac{11}{-5e^{-45}}=-\frac{11}{5}e^{45}λ=5e4511=511e45

    CONCLUSION :

    y=−115e45e−5ty=-\frac{11}{5}e^{45}e^{-5t}y=511e45e5t

    Tu peux transformer pour trouver le résultat proposé (en utilisant les propriétés des puissances)

    $\fbox{y=-\frac{11}{5}e^{45-5t}=-\frac{11}{5}e^{-5(t-9)}}$

    Le résultat proposé est bien le bon vu que :

    −7735=−11×75×7=−115-\frac{77}{35}=-\frac{11 \times 7}{5\times 7}=-\frac{11}{5}3577=5×711×7=511

    Revois tout ça de près.


  • D

    Merci beaucoup, cela m a beaucoup aidé


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