3. Résoudre une équation polynôme de degré n

Résoudre une équation polynôme de degré n

  • M

    Bonjour,

    je suis bloqué sur un exercice, en gros je connais la recette pour le traiter, mais je ne maitrise pas la methode.. Un petit coup de main serait le bienvenu ! 🙂

    Enonce:
    Soit n dans N°

    1. Decomposer dans C(X): Pn=(X+1)^n - (X-1)^n
    2. EN deduire (pour tout p dans N°) ∏(de k=1 jusqu'a p) cotan(kπ/2p+1)=1/(√(2p+1))

    Pour le 1) je sais que je dois résoudre Pn(z)=0 ⇔ (z+1)^n - (z-1)^n=0
    Mais je ne sais pas encore comment résoudre cette equation...

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Seulement quelques pistes car je n'ai pas regardé de près.

    Pour résoudre l'équation, tu peux te ramener aux racines nieˋmesn^{ièmes}nieˋmes de 1

    (z+1z−1)n=1(\frac{z+1}{z-1})^n=1(z−1z+1​)n=1

    z+1z−1=e2ikπn\frac{z+1}{z-1}=e^{\frac{2ik\pi}{n}}z−1z+1​=en2ikπ​

    Tu fais les produits en croix, tu isoles z, , tu multiplies numérateur et dénominateur du quotient trouvé par $e^{\frac{-ik\pi}{n}$ ou$-e^{\frac{-ik\pi}{n}$ (suivant le forme du quotient que tu as écrit)

    Au final, tu dois arriver à

    $z=\frac{{e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}}}}{{e^{\frac{ik\pi}{n}}+e^{\frac{-ik\pi}{n}}}$

    z=2isin⁡kπn2cos⁡kπnz =\frac{2i\sin \frac{k\pi}{n}}{2\cos \frac{k\pi}{n}}z=2cosnkπ​2isinnkπ​​

    z=icotan2kπnz=icotan \frac{2k\pi}{n}z=icotann2kπ​ (pour k variant de 1 à n-1)

    Tu peux en déduire la décomposition de Pn

    Ensuite n=2p+1n=2p+1n=2p+1 ( n impair donc n−1=2pn-1=2pn−1=2p)

    En utilisant la relation entre produit des racines et coefficients du polynôme, tu pourras déduire le produit des cotan(kπn)cotan(\frac{k\pi}{n})cotan(nkπ​) , k variant de 1 à 2p

    Sauf erreur,

    ∏k=1k=2pcotan(kπ2p+1)=12p+1\prod_{k=1}^{k=2p}cotan(\frac{k\pi}{2p+1})=\frac{1}{2p+1}∏k=1k=2p​cotan(2p+1kπ​)=2p+11​

    Comme les coefficients sont égaux deux à deux, pour le produit, k variant de 1 à p, tu obtiens le résultat souhaité.

    Bons calculs.

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