suite numerique


  • P

    j'ai fait juste la premier question . pour 2,3 et 4 je suis bloque.

    Soit f : R - {2}->R . f(x)=2/5 * (x2+3x+6)/(x-2) et unu_nun , u0u_0u0=10 et uuu_{n+1}=f(un=f(u_n=f(un)

    1. Dresser le tableau de variations de f. Que vaut f(6) ? Montrer que x>6 => f(x)>6

    2)Montrer par recurrence que unu_nun est bien defini et 6<unu_nun pour
    tout n

    3)Exprimer un+1u_{n+1}un+1 en fonction de unu_nun. En deduir que 0<= un+1u_{n+1}un+1-6< (un(u_n(un-6)2 / 10

    4)Montrer que 0<= unu_nun-6<=10[(2/5)^2]^n


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je regarde un peu pour que tu puisses continuer.

    1. Pour les deux récurrences de la 2), utilise tout simplement la question 1)

    La condition d'existence de la suite est : "dénominateur non nul"

    Il faut donc que tu prouves que pour tout n de N :Un≠2

    Intialisation pour n=0 c'est évident vu que U0U_0U0=10

    Pour l'hérédité,

    Soit Un≠2 il faut que tu prouver que Un+1U_{n+1}Un+1≠2

    Il te suffit d'utiliser le tableau de variation de f.
    Tu peux constater que, pour x≠2, 'il n'y a aucune valeur de f telle que f(x)=2
    Donc : Un≠2 => f(Un)≠2 c'est à dire Un+1U_{n+1}Un+1≠2

    Même idée pour la seconde récurrence.

    Intialisation pour n=0 c'est évident vu que U0U_0U0=10

    Pour l'hérédité,

    Soit UnU_nUn > 6 il faut que tu prouver que Un+1U_{n+1}Un+1 > 6

    Tu as prouvé que x > 6 => f(x) > 6

    Donc Un>2 => f(Un)>2 c'est à dire Un+1U_{n+1}Un+1>6

    1. Calcules Un+1U_{n+1}Un+1-6

    un+1=25.un2+3un+6un−2u{n+1}=\frac{2}{5}.\frac{u_n^2+3u_n+6}{u_n-2}un+1=52.un2un2+3un+6

    Après transformations, sauf erreur

    un+1−6=25.(un−6)2un−2u_{n+1}-6=\frac{2}{5}. \frac{(u_n-6)^2}{u_n-2}un+16=52.un2(un6)2

    Tu en déduis facilement la réponse souhaitée.

    Pour la 4) en utilisant l'inégalité que tu viens de trouver n fois ( n variant de 1 à n), tu devrais obtenir une inégalité pour UnU_nUn-6

    L'inégalité que tu donnes me semblant très bizarre, je n'ai pas essayé.

    Bon travail.


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