Fonctions logarithme népérien et exponentielle et extremums

Bonjour,
voici un exercice ou je bloque :
Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes C et T d'équations respectives :
$y=e^x$ et y = ln x
ON rappelle que pour tout nombre x strictement positif : $e^x$ > ln x
A tout nombre x strictement positif, on associe le point M de C et le point N de T de même abscisse x.
Screen des courbes : http://prntscr.com/9qrcao
Le but de cet exercice est de trouver la valeur de x pour laquelle la distance MN est minimale.

On note ℘ la fonction définie sur ]0;+∞[ par : ℘(x) = $e^x$ - ln x
a) Calculer ℘'(x) et démontrer que l'équation ℘'(x) = 0 admet dans ]0;+∞[ une unique solution a, déterminer a.
b)En déduire que la distance de MN est minimale quand x=a.
a) Justifier que $e^a$ = 1/a
b) En déduire que les tangentes à C et T aux points d’abscisses a sont parallèles .

Mes réponses : Pour la 1) ℘'(x) = $xe^x$ - 1/x et ℘'(x) dépend de son numérateur pour son signe soit $xe^x$ - 1, que faire ensuite ?

Bonjour Plop1,

la dérivée est fausse
la dérivée de $e^x$ est $e^x$ ;

Bonjour Noemi,

La dérivée de lnx est 1/x soit $xe^x$ -1)/x ?

C'est correct.

étudie les variations de g(x) = $xe^x$ -1

Le signe de cette dérivée dépend donc de son numérateur, comment le trouver ?

On a g'(x) = $x+2e^x$ Donc g(x) décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[

Si : g(x) = $xe^x$ -1
g'(x) = $e$ ^x $xe^x$
$1+x)e^x$
étudie le signe de g' et analyse les variations de g.

g'(x) négatif sur ]-∞;-1] et positif sur [-1;+∞[

Oui
et g varie ....

g décroissant jusqu'à x=-1 soit g(-1) ≈ -1,37 puis croissant donc une solution ℘'(x) = 0 sur ]0,+∞[

Il faut préciser que quand x tend vers 0+ , ℘'(x)<0.

Plutôt ℘'(x)>0 ?

La distance de MN est minimale quand x=a, comment déduire cela?

Il faut montrer que le point ou la dérivée d'annule est un minimum, soit que la fonction est décroissante puis croissante.

La dérivée s'annule en 0

Pour x = a !

a c'est ℘'(x) = 0 sur ]0,+∞[ donc 0=a ?

La dérivée s'annule pour x = a étudie le signe de la dérivée.

La dérivée est négative puis positive

Donc le point d'abscisse x = a est un minimum.

Ok, et comment en déduire que les tangentes à C et T aux points d’abscisses a sont parallèles ?

L'énoncé de la question 2) a est-il complet ?

Erreur c'est $e^a$ soit $e^a$ - 1/a = 0
$e^a$ = 1/a

Je n'ai pas pu déterminer a avec ma calculette, quel est-il ?

Les deux tangentes sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur
donc .....

Donc il faut calculer les deux coefficients directeurs soit f'(a) ?

Oui
Pour les fonctions de départ
$y=e^x$ et y = ln x

$e^x$ et 1/x et on a vu pour a que $e^a$ = 1/a donc meme coeff donc elles sont parallèles ? (Mais je n'ai pas trouvé de valeur approché de a)

Pour déterminer a utilise ma calculatrice.``
résolution de l'équation : $xe^x$ -1= 0

a = 0,567

Merci, pour le 2a) faut-il justifier la forme $e^a$ - 1/a = 0 ? et pour le 2b) ma réponse est correcte ?
Pour a je pensai qu'il fallait trouver $xe^x$ -1/x = 0 étant donné que s'est la forme de C'(x)

Pour le 2 a)
℘'(x) = $xe^x$ - 1)/x = 0 si x = a avec a ≠0
donc
$ae^a$ - 1 = 0,
soit $e^a$ = 1/a

pour la question b) répondre avec le coefficient directeur des tangentes.

Ok, les tangentes sont donc parallèles car elles ont le même coefficient directeur.
Et pourquoi ont doit trouver $xe^x$ -1= 0 pour a et non $xe^x$ -1/x = 0 qui est la forme de C'(x)?

℘'(x) =( $xe^x$ - 1)/x
et
℘'(x) = 0
si
$xe^x$ - 1 = 0

Merci!