ensembles et applications


  • K

    salut tout le monde
    je veux savoir comment résoudre ça
    Pour la fonction f : R → R définie par x→x² représenter et calculer les ensembles suivants : f ([0,1[), f (R), f (]−1,2[), f −1([1,2[), f −1([−1,1]), f −1({3}), f −1(R\N).
    est ce que c'est a partir du graphe ?
    si oui ,est ce qu'il y a une autre méthode ?
    (f −1)=la reciproque de f
    et merci


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir king07,

    Il est demandé de représenter, donc il faut faire des représentations graphiques.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Lorsque tu auras fait la représentation graphique de f sur R (parabole) et trouver les réponses (par lecture graphique), il faudra prouver les réponses par calculs.

    Quelques pistes.

    f(x)=x² donc f'(x)=2x

    f dérivable donc continue sur R
    f strictement croissante sur R+R^+R+ et strictement décroissante sur R−R^-R

    Tu peux faire les tableaux de variation correspondant à chaque intervalle demandé et trouver les réponses.

    Tu peux aussi raisonner directement par intervalles (l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle)

    Un exemple: f(]-1,2[)

    Tu décomposes en intervalles sur lesquels f est bijective

    ]-1,2[=]-1,0[ ∪ [0,2]

    Sur ]-1,0[, f continue et strictement décroissante :
    f(]-1,0[) = ]f(0),f(-1)[ = ]0,1[

    Sur [0,2], f continue et strictement croissante :
    f([0,2]) = ]f(0),f(2)[ =[0,4]

    f(]-1,2[)=]0,1[ ∪ [0,4] = [0,4]

    Autre exemple: f−1f^{−1}f1([−1,1])

    Tu résous -1 ≤ x² ≤ 1

    Vu que x² ≥ 0, 0 ≤ x² ≤ 1

    0≤x2≤1↔0≤x2≤1↔0≤∣x∣≤1↔−1≤x≤10\le x^2 \le 1 \leftrightarrow 0\le \sqrt{x^2} \le 1 \leftrightarrow 0\le |x| \le 1 \leftrightarrow -1\le x\le 10x210x210x11x1

    f−1f^{−1}f1([−1,1])=[-1,1]

    Tu poursuis,

    Remarque: Pour f−1f^{-1}f1(R\N), cela se réduit à fff^{-1}(R+(R^+(R+\N)
    Tu raisonnes par intervalle de type ]n,n+1[ avec n∈N

    n<x2<n+1↔n<∣x∣<n+1↔n<x<n+1 ou −n<x<−n+1n\lt x^2\lt n+1 \leftrightarrow \sqrt n \lt |x|\lt \sqrt{n+1} \leftrightarrow \sqrt n \lt x \lt \sqrt{n+1} \ ou\ -\sqrt n \lt x \lt -\sqrt{n+1}n<x2<n+1n<x<n+1n<x<n+1 ou n<x<n+1
    Tu tires la conclusion générale.

    Bon travail.


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