Calcul d'une intégrale triple sur un domaine

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• L

  lagranget dernière édition par
  
  

  Bonjour à tous, même si j'ai le corrigé de l'exercice ci-dessous je ne comprends pas, en fait c’est juste le début du corrigé que je ne comprends pas, pour la suite le calcul je sais faire. Pourriez-vous m'aider?

  Calculer l'intégrale triple: ∫∫∫ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
  𝐷={(𝑥,𝑦,𝑧)∈R3 𝑥≥0,𝑦≥0,𝑧≥0,𝑥+𝑦+𝑧≤1}

  J'ai comme réponse: I=∫∫∫ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
  en faisant x, x ≤ 1-y-z , puis y, y ≤ 1-z
  I=∫(b=z,a=0) ∫(b=z , a=0) ∫(b=1-z , a=0) ∫(b= 1-y-z , a=0) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

  J'aimerais savoir comment on a réussi à trouver z , 1-z , 1-y-z pour chacune des intégrales?
  Je sais qu'on a utlisé 𝑥+𝑦+𝑧≤1 pour trouver x ≤ 1-y-z , puis y ≤ 1-z mais ensuite pourquoi pour la dernière intégrale on trouve z, et non 1?

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• F

  flaja dernière édition par @lagranget
  
  

  $\int \int \int r^{2}dxdydz$ avec $x\ge 0,y\ge ,z\ge 0,x+y+z\le 1$
  on intègre sur le volume du tétraèdre de sommet O ayant pour arêtes les 3 vecteurs i, j, k du repère
  quand on fixe z avec la première intégrale, il reste la contrainte : $x+y\le 1-z$
  car on intègre sur le triangle parallèle au plan xOy
  ${\int }_0^{1}dz\int \int r^{2}dydx$ avec $x\ge 0,y\ge ,x+y\le 1-z$
  quand on fixe y avec la deuxième intégrale, y varie de 0 à 1-z
  il reste la contrainte pour x : $x\le 1-z-y$
  ${\int }_0^{1}dz{\int }_0^{1-z}dy\int r^{2}dx$ avec x qui varie de 0 à 1-z-y
  car on intègre sur le segment parallèle à Ox
  soit ${\int }_0^{1}dz{\int }_0^{1-z}dy{\int }_0^{1-z-y}{r}^{2}dx$

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