Exo matrice.


  • V

    Bonsoir,

    J'ai un exo à faire pour lundi, pourriez-vous me dire si c'est jute et m'aidez sur les questions qui me manquent ?

    Voici l'énoncé :

    On pose M = (1amp;1amp;0 0amp;1amp;1 0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \ 0 &1 &1 \ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}(1amp;1amp;0 0amp;1amp;1 0amp;0amp;1)

    N = (0amp;1amp;0 0amp;0amp;1 0amp;0amp;0)\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \ 0 &0 &1 \ 0 &0 &0 \end{pmatrix}(0amp;1amp;0 0amp;0amp;1 0amp;0amp;0)

    1. Énoncer la formule du binôme de Newton dans MnM_nMn(R)

    Si MN = NM, alors pour tout n ∈ N

    (M + N)nN)^nN)n = ∑k=0n (nk)mknn−k\sum_{k=0}^{n}{}\ {n \choose k} m^{k}n^{n-k}k=0n (kn)mknnk

    1. Calculer N² et N3N^3N3. En déduire NnN^nNn pour tout n de N.

    N² = (0amp;0amp;1 0amp;0amp;0 0amp;0amp;0)\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \ 0&0 &0 \ 0 &0 &0 \end{pmatrix}(0amp;0amp;1 0amp;0amp;0 0amp;0amp;0)

    N3N^3N3 = 0

    Pour la seconde partie, en déduire NnN^nNn pour tout n de N, je n'ai pas trouvé...

    1. Exprimer M en fonction de N et I. En déduire MnM^nMn pour tout n de N.

    J'ai trouvé la relation suivante :

    M = N + I

    Idem pour cette question, en déduire MnM^nMn je bloque.

    1. Calculer (I+N)(I-N+N²). En déduire M−1M^{-1}M1.

    J'ai trouvé la matrice suivante :

    (1amp;0amp;0 0amp;1amp;0 0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1&0 &0 \ 0&1 &0 \ 0 &0 &1 \end{pmatrix}(1amp;0amp;0 0amp;1amp;0 0amp;0amp;1)

    J'ai pas trouvé M−1M^{-1}M1...

    Voilà... Donc il me manque les en déduire, si vous auriez des pistes je suis preneur.

    Merci d'avance ! 😄


  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques pistes,

    1. $n^3=\left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)$

    Donc :

    $n^4=n\times n^3=n\times \left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)=\left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)$

    Par récurrence, pour n ≥ 3, $n^n=\left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)$

    1. Pour la seconde partie, tu utilises les résultats précédents.

    mn=(n+i)nm^n=(n+i)^nmn=(n+i)n

    Tu utilises la formule du binôme et comme NnN^nNn est nulle à partir de l'ordre 3, tu n'as que les 3 premiers termes du développement.

    1. Tu sais que I+N=M

    La formule que tu as trouvée peut s'écrire :

    m×(i−n+n2)=im\times (i-n+n^2)=im×(in+n2)=i

    donc

    m−1=...m^{-1}=...m1=...


  • V

    Bonjour,

    1. OK j'ai compris.

    2. Donc il faut que je calcule N1N^1N1 + N² + I en utilisant le binôme de Newton ?

    3. M−1M^{-1}M1 = I−1I^{-1}I1 = I ?


  • mtschoon

    Pour la 3), ce que tu écris est bizarre....Que sont devenus les coefficients binomiaux ?

    $(n+i)^n={{n}\choose {0}}n^0i^n+{{n}\choose{1}}n^1i^{n-1}+{{{n}\choose{2}}n^2i^{n-2}={{n}\choose {0}}n^0+{{n}\choose{1}}n^+{{{n}\choose{2}}n^2=..............$

    I n'y a rien à faire...sauf réfléchir que :

    m×m−1=im\times m^{-1}=im×m1=i

    donc...........


  • V

    OK j'vais essayer de développer en utilisant mon cours.

    Pour la 4),

    M−1M^{-1}M1 = I/M = I*1/M

    Je fais le produit de la matrice I par la matrice 1/M.


  • mtschoon

    Pour la 3), tu ne dois pas avoir de problème

    n0=i n1=nn^0=i \ n^1=nn0=i n1=n

    Donc :

    mn=(n+i)n=i+nn+n(n−1)2n2=...m^n=(n+i)^n=i+nn+\frac{n(n-1)}{2}n^2=...mn=(n+i)n=i+nn+2n(n1)n2=...

    Pour la 4), je pense que tu ne comprends pas bien ce que représente M−1M^{-1}M1

    Regarde ton cours.

    I/M ne veut rien dire...

    Par définition

    m×m−1=im \times m^{-1}=im×m1=i

    Or

    m×(i−n+n2)=im \times (i-n+n^2)=im×(in+n2)=i

    Donc ..............


  • V

    Pour la 3) j'ai trouvé :

    mn=(1amp;namp;n(n−1)∗12 0amp;1amp;n 0amp;0amp;1)m^{n}=\begin{pmatrix} 1 &n &n(n-1)*\frac{1}{2} \ 0 &1 &n \ 0 &0 &1 \end{pmatrix}mn=(1amp;namp;n(n1)21 0amp;1amp;n 0amp;0amp;1)

    Pour la 4)

    J'comprends pas trop pour la question 4.

    J'ai trouvé que la relation qui m'était donné valait I. Ainsi, comme par définition on a M*M^-1 = I, M^-1 vaut I-N+N² ?


  • mtschoon

    Cela me parait correct.

    Bien sûr, tu peux expliciter M−1M^{-1}M1


  • V

    Mais M^-1 je les calculé qd j'ai calculé I-N+N² non?


  • mtschoon

    Oui, vu que tu as déjà explicité I-N-N², tu n'as plus qu'à recopier l'expression trouvée.

    $m^{-1}=\left(1\ -1\ 1\0\ \ 1\ -1\0\ \ 0\ \ 1\right)$


  • V

    OK super, j'vous remercie. 🙂


  • mtschoon

    De rien .

    Bon dimanche !


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