Recherche de trois limites

Bonsoir, pouvez vous m'aider à résoudre ces limites?

lim x→0 x.ln²x

lim x→0 x.cotg x
lim x→ ±∞ x.e^1/x
lim x→0 x.ln²x ⇒ 0.ln².0⇒0.0⇒0 Donc le résultat est de 0. Le

développement de mon calcul est-il correct?

lim x→0 x.cotg x ⇒ 0.cotg.0⇒ je n'arrive pas à continuer mon développement à partir de cet endroit.
lim x→ ±∞ x.e^1/x ⇒ ∞/e^-1/∞ ⇒ (x)'/(e^-1/x)'⇒1/e^1/x
Je n'aboutis à aucun résultat malgré cela.

En effet j'utilise la règle de l'Hospital; j'obtiens la forme indéterminée puis je dérive.
Pouvez-vous m'aider?
Merci
Marie.

Bonjour,

La réponse à la question 1 est bien 0 mais ta "démonstration" est totalement fausse.

ln0 n'existe pas ; on ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif.
$lim⁡x→0+lnx=−∞\lim_{x\to 0^+ }lnx=-\infty$

Je te donne des indications pour pouvoir traiter tes 3 questions.

Tu peux faire le changement de variable $x=1xx=\frac{1}{x}$
Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, X tend vers +∞

Tu pourras ensuite utiliser le fait que :

$lim⁡y→+∞lnyy=0\lim_{y \to +\infty}\frac{lny}{y}=0$

Tu peux remplacer cotgx par $cosxsinx\frac{cosx}{sinx}$

Tu pourras ensuite utiliser le fait que :

$lim⁡x→0xsinx=1\lim_{x \to 0}\frac{x}{sinx}=1$

Il n'y a pas d'indétermination.

Il te suffit de raisonner correctement en séparant le cas +∞ et
le cas -∞

Travaille avec ton cours (à approfondir sérieusement) et mes indications.

Reposte si besoin en indiquant ce que tu as fait .

Merci pour les indications.

lim x→0 x.ln^2x⇒-∞ donc:

lim x→+∞ ⇒ 1/x.ln^2.1/x
⇒ 1/x.(ln^2/x)
⇒ ln^2/x^2
⇒ ln(x)/x
⇒ 0

lim x→0 x.cotg x

lim x→0 x.(cos x/sin x)

Juste après avoir remplacé je comprend pas comment on peut arriver à un résultat de 1.

On doit faire: cos x . x ? ⇒ 1/sin x

merci

Je regarde ce que tu as fait pour la première limite.

Ta transformation ne veut pas dire grand-chose ...

En plus, tu ne sembles pas comprendre ce que signifie ln²(x).
Cela veut dire (lnx)²
Alors, lorsque x tend vers $0^+$ , lnx tend vers -∞ , (lnx)² tend vers +∞

Si ça t'arrange, je t'indique un calcul mais il utilise forcément les propriétés de la fonction logarithme ; alors, approfondis ton cours pour comprendre les propriétés utilisées.

Changement de variable : $x=1xx=\frac{1}{x}$

$x(lnx)2=1x(ln1x)2=1x(−lnx)2=1x(lnx)2x(lnx)^2=\frac{1}{x}(ln\frac{1}{x})^2=\frac{1}{x}(-lnx)^2=\frac{1}{x}(lnx)^2$

En transformant :

$x(lnx)2=(lnxx)2=(2lnxx)2=4(lnxx)2x(lnx)^2=(\frac{lnx}{\sqrt x})^2=(\frac{2ln\sqrt x}{\sqrt x})^2=4(\frac{ln\sqrt x}{\sqrt x})^2$

Lorsque x tend vers $0^+$ , X tend vers +∞, √X tend vers +∞

$lim⁡x→+∞lnxx=0\lim_{x\to +\infty}\frac{ln \sqrt x}{\sqrt x}=0$

Donc : $4(lnxx)2=0\lim_{x\to +\infty}\ 4(\frac{ln \sqrt x}{\sqrt x})^2=0$

Donc
Donc : $lim⁡x→0+x(lnx)2=0\lim_{x\to 0^+}x(lnx)^2=0$

Revois ton cours sur les logarithmes, regarde cette question, et avance les deux autres questions.

Piste pour la 2)

$lim⁡x→0xcotg(x)=lim⁡x→0xcosxsinx=lim⁡x→0cosx(xsinx)\lim_{x\to 0}xcotg(x)=\lim_{x\to 0}x\frac{cosx}{sinx}=\lim_{x\to 0}cosx(\frac{x}{sinx})$

Tu cherches la limite de cosx , de x/sinx et tu tires la conclusion.

Piste pour la 3)

Pas d'indétermination

a)x tend vers +∞ donc 1/x tend vers ... donc $e^{1/x}$ tend vers ...
donc x $e^{1/x}$ tend vers ....

a)x tend vers -∞ donc 1/x tend vers ... donc $e^{1/x}$ tend vers ...
donc x $e^{1/x}$ tend vers ....