arithmétique, spé maths
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CCRL95 dernière édition par
bonsoir, j'ai du mal a un exercice. Je ne vois pas comment faire les questions.
- Soit a et b deux entiers relatifs. Démontrer que :
(a) Pour tout entier naturel n ≥ 1, a^n - b^n est un multiple de a − b.
(b) Si n est un entier naturel impair, alors a^n + b^n est un multiple a + b.
(c) Application : Soit a entier relatif (a différent de 1). Démontrer que :∀n ∈ N∗, 1-a^n est multiple de 1-a, en déduire que 2^3n est divisible par 7.
- (a). démontrer que : Si a divise b alors on a l'équivalence :a|(b + c) ⇔ a|c
(b) démontrer: a et b entiers, b non nul. Si a divise b, alors |a| ≤ |b|.
Merci d'avance pour vos réponses; je bloque des la première question
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Bonsoir CRL95
1 a) que peut t-on dire de aaa^n−bn-b^n−bn si a = b ?
b) pose n = 2m+1
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CCRL95 dernière édition par
Noemi
Bonsoir CRL951 a) que peut t-on dire de aaa^n−bn-b^n−bn si a = b ?
b) pose n = 2m+1- a^n = b^n ?
donc a^2m+1 + b^2m+1
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si a = b ; aaa^n−bn-b^n−bn= 0
donc a-b ....
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CCRL95 dernière édition par
Noemi
si a = b ; aaa^n−bn-b^n−bn= 0
donc a-b ....donc a-b = a^n - b^n ? mais ma prof m'avait dit de le faire par récurrence
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Donc fais le par récurrence.
Indique tes calculs.
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CCRL95 dernière édition par
Noemi
Donc fais le par récurrence.Indique tes calculs.
Pn : " a^n - b^n = (a-b)q"
initialisation : P1 : " a-b=(a-b)q"
P1 est vraie
hérédité :
Hypothèse Pn:"a^n - b^n = (a-b)q"
ce que l'on veut obtenir : Pn+1:"a^n+1 - b^n+1 = (a-b)q"a^n-b^n=(a-b)q donc a^n x a - b^n x b = (a-b)q x (a-b)
donc a^n+1 - b^n+1 = (a-b)^2 xqmais voila après je bloque
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aaa^{n+1}−b-b−b^{n+1}=(a=(a=(a^n−bn-b^n−bn)(a+b) −ab(a-ab(a−ab(a^{n-1}−bn−1-b^{n-1}−bn−1)
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CCRL95 dernière édition par
Noemi
an+1^{n+1}n+1-bn+1^{n+1}n+1=(an^nn-b^n)(a+b))(a+b) )(a+b)-ab(an−1^{n-1}n−1-b^{n-1}$)mais du coup je ne vois pas comment conclure que Pn+1 est vraie car on aura jamais ce que l'on cherche
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En utilisant l'hypothèse pour:
(a(a(a^n−bn-b^n−bn)
et (a(a(a^{n-1}−bn−1-b^{n-1}−bn−1)
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CCRL95 dernière édition par
Noemi
En utilisant l'hypothèse pour:
(a(a(a^n−bn-b^n−bn)
et (a(a(a^{n-1}−bn−1-b^{n-1}−bn−1)(a^n - b^n) = (a^n-1 -b^n-1)(a^n-b^n) ?
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Non,
Utilise l'hypothèse
aaa^n−bn-b^n−bn est un multiple de a-b
et
aaa^{n-1}−bn−1-b^{n-1}−bn−1 est aussi un multiple de a-b
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CCRL95 dernière édition par
Noemi
Non,Utilise l'hypothèse
aaa^n−bn-b^n−bn est un multiple de a-b
et
aaa^{n-1}−bn−1-b^{n-1}−bn−1 est aussi un multiple de a-bDonc j'ai juste à décomposée a^n+1 - b^n+1 et comme (a^n -b^n)(a-b) apparaît c'est aussi un multiple d'après l'hypothèse ?
Et sans utiliser une récurrence il aurait fallu faire comment ?
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Non,
Utilise la relation :
aaa^{n+1}−b-b−b^{n+1}=(a=(a=(a^n−bn-b^n−bn)(a+b) −ab(a-ab(a−ab(a^{n-1}−bn−1-b^{n-1}−bn−1)
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CCRL95 dernière édition par
Noemi
Non,Utilise la relation :
aaa^{n+1}−b-b−b^{n+1}=(a=(a=(a^n−bn-b^n−bn)(a+b) −ab(a-ab(a−ab(a^{n-1}−bn−1-b^{n-1}−bn−1)Daccord & après je dis que a^n-b^n multiple de a-b de conclure que Pn+1 EST vraie
De fsire la conclusion et c'est bon?