Spé mathématique-arithmétique


  • M

    Bonjour j'ai un exercice de spé maths à faire, en vue d'un contrôle, mais je ne sais pas comment procédé.. Voici l'énoncé:

    m et n sont deux entiers relatifs. On pose a=10n+m
    a) Démontrer que si n-11m est divisible par 37 alors a est divisible par 37.
    b) La réciproque de cette proposition est-elle vraie?

    En regardant un peu sur internet, essayant de trouver quelque piste, j'ai commencé quelque chose mais ça me parait bizarre...
    Pour la question a):
    a=10n+m
    Posons b=n-11m
    Soit a=10n+m
    a= 10(b+11n)+m

    Ne sachant pas si ce début est juste, je me suis arrêtée car je ne comprend pas comment faire pour la suite..

    Si vous pouvez m'aider. Merci d'avance.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste pour la a)

    Je te suggère de faire apparaître n-11m

    a=10n+m=10(n−11m)+111m=10(n−11m)+37×3na=10n+m=10(n-11m)+111m=10(n-11m)+37\times 3na=10n+m=10(n11m)+111m=10(n11m)+37×3n

    Si n-11m est divisible par 37 : n-11m=37k

    donc :

    a=37×(..............)a=37\times (..............)a=37×(..............)

    Donca est divisible par 37

    Raisonne dans le même esprit pour la partie b


  • M

    Comment faites-vous pour faire apparaître le n-11m dans l'équation sachant qu'on a pas isolé n..
    pour moi, n=11m non ?!


  • mtschoon

    Transformation utile :

    10(n−11m)+111m=10n−110m+111m=10n+m=a10(n-11m)+111m=10n-110m+111m=10n+m=a10(n11m)+111m=10n110m+111m=10n+m=a


  • M

    Ah oui, je vois.
    Donc, a= 37 x (13n-110m) ?!


  • mtschoon

    Pas tout à fait ...Reprends les calculs.

    a=10(n−11m)+37(3n)=10(37k)+37(3n)=37(10k+3n)a=10(n-11m)+37(3n)=10(37k)+37(3n)=37(10k+3n)a=10(n11m)+37(3n)=10(37k)+37(3n)=37(10k+3n)


  • M

    Ah oui, je vois. Merci beaucoup !


  • mtschoon

    De rien !

    J'espère que tu n'as pas oublié la réciproque.


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