Des calculs de limites

Bonjour,

J'ai un DM à rendre pour la rentrée sur les calcules de limites de certaines fonctions.

Tout d'abord, je dois déterminer les limites quand x tend vers +∞ de

$e^{2x}$ - 3x + 2) / ln(x)

Pour cette fonction, j'avais pensé à résoudre par équivalence.

J'ai fait cela :

2 << 3x en +∞
Donc 3x + 2 c'est équivalent en +∞ à 3x
Ensuite,
3x << $e^{2x}$
Donc 3x - $e^{2x}$ c'est équivalent en +∞ à $e^{2x}$

Puis je bloque, si le début et bon comment finir ? On a ln(x) au dénominateur. J'avais pensé à dire que comme la fonction ln(x) et les fonctions puissances sont négligeables devant la fonction exponentielle alors je peux dire que $e^{2x}$ /ln(x) c'est équivalent en +∞ à $e^{2x}$ /x donc la limite pour le 1. est +∞

Est-ce correcte ou pas du tout ?
Merci.

Bonjour,

Tu as écrit
Citation
Donc 3x - $e^{2x}$ est équivalent en +∞ à $e^{2x}$
Je pense que tu as voulu écrire
Donc $strong>e^{2x}$ -3x est équivalent en +∞ à $e^{2x}$

Ce que tu dis est exact, mais la fin est-elle assez rigoureux ? Cela dépend de ton cours...

Peut-être pourrais-tu rédiger en utilisant les croissances comparées usuelles.

$f(x)=\frac{e^{2x}-3x+2}{lnx}=\frac{\frac{e^{2x}-3x+2}{2x}}{\frac{lnx}{2x}$

$f(x)=(e2x2x−32+1x)×2(xlnx)f(x)=(\frac{e^{2x}}{2x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{x})\times2(\frac{x}{lnx})$

Tu sais que $lim⁡x→+∞exx=+∞\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$

et que $lim⁡x→+∞xlnx=+∞\lim_{x\to +\infty}\frac{lnx}{x}=0^+\ donc\ \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{lnx}=+\infty$

Donc, tu peux déduire aisement (après avoir tout détaillé, bien sûr) que

$lim⁡x→+∞f(x)=+∞.\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.$

Merci beaucoup pour votre réponse. Cependant il y a un truc que j'comprends pas...
C'est au début, est-ce qu'on a le droit de diviser par 2x en haut, et x en bas ?

Tu as raison, en tapant en latex, j'ai "zappé" le 2 ; je viens de le rajouter.

Pour plus de rigueur, tu peux préciser que cette division par 2x est correcte pour x≠0, ce qui ne pose par de problème ici, vu que x tend vers +∞.

Super merci !

$(x+1x−1)x(\frac{x+1}{x-1})^{x}$

Celle-ci par contre, je ne vois pas du tout...
Des pistes?

x tend vers quoi ?

Toujours pareil +∞

Tu as une forme indéterminée du type " $1^∞$ "

Je te conseille de tansformer avec $a^x=e^{xlna}$

$g(x)=(\frac{x+1}{x-1)^x$

$g(x)=exln(x+1x−1)g(x)=e^{xln(\frac{x+1}{x-1})}$

Tu cherches la limite de l'exposant en transformant un peu.

$ln(x+1x−1)=ln(x−1+2x−1)=ln(1+2x−1)ln(\frac{x+1}{x-1})=ln(\frac{x-1+2}{x-1})=ln(1+\frac{2}{x-1})$

Tu dois savoir que pour X tendant vers 0, $\sim x$

Tu dois trouver que l'exposant tend vers 2, donc que

$lim⁡x→+∞g(x)=e2\lim_{x\to +\infty}g(x)= e^2$

(J'ai fait vite, ce n'est guère rédigé...reposte si e n'est pas clair)

Mais l'exposant tend vers +∞ non?

Vu que ln(x+1/x-1) = ln(1+ 2/x-1) ça OK.

Mais si on cherche la limite de ln( 1 + 2/x-1) on trouve 1
ln(1) = 0, donc x*0 c'est encore une FI...

Prends ton temps pour détailler....

J'ai pris un équivalent (pour pouvoir lever l'indétermination, sinon on est encore "coincé")

lorsque X est voisin de 0, $\sim x$

En posant $x=2x−1x=\frac{2}{x-1}$

Lorsque x tend verx +∞

$ln(1+2x−1)∼(2x−1)ln(1+\frac{2}{x-1})\sim (\frac{2}{x-1})$

$xln(1+2x−1)∼x(2x−1)xln(1+\frac{2}{x-1})\sim x(\frac{2}{x-1})$

$xln(1+2x−1)∼2xx−1xln(1+\frac{2}{x-1})\sim \frac{2x}{x-1}$

Losque x tend verx +∞, (2x)(x-1) tend vers 2 donc.......

Donc la limite quand x tend vers +∞ c'est $e^2$

OK ça marche. Par contre c'est la dernière étape que j'comprends pas.
Pourquoi dîtes vous que 2x/x-1 tend vers 2... ça parait p-être évident mais moi je ne le vois pas.

Merci.

Oui le limite de g est bien $e^2$

Pour ta dernière question :

Losrque x tend vers +∞, tu peux prendre les termes de plus fort degré c'est à dire (2x)/x , d'où ...

Si tu ne connais pas cette propriété ( ce qui me surprendrait), tu mets x en facteur et tu simplifies par x )

$2xx−1=x(2)x(1−1x)=21−1x\frac{2x}{x-1}=\frac{x(2)}{x(1-\frac{1}{x})}=\frac{2}{1-\frac{1}{x}}$

Lorsque x tend vers +∞, 1/x tend vers 0, donc......

Ha oui... super merci.

$e^{x²}$ - ln(x)

J'avais pensé à faire $e^{x²}$ - 1 - (ln(x) - 1)
Et raisonner par équivalence.

$e^{x²}$ - 1 équivalent en 0 à x², donc en +∞ c'est 1/x²

Je sais pas...

Ta proposition est bizarre...

Une piste,

Tu peux poser x²=X et chercher la limite de $e^X$ -ln(√X), lorsque X tend vers +∞

$ex−ln(x)=ex−12lnxe^x-ln(\sqrt x)=e^x-\frac{1}{2}lnx$

Tu mets X en facteur et tu peux ainsi lever l'indétermination (et trouver +∞)

D'accord. Merci !

J'en ai une en 0 vous pouvez me dire si c'est bon ?

f(x) = xln(e^x - 1)

Pour celle-ci j'ai factorisé par x

$x(\frac{ln(x)}{x}*\frac{e^{x}-1}{x})$

Ainsi e^x - 1/x c'est le taux d'accroissement, cela vaut 1.

Donc il reste x(ln(x)/x), soit ln(x).

lim qd x tend vers $0^+$ de ln(x) c'est -∞

Cependant pour $0^-$ je ne vois pas comment faire.

Ta transformation de $ln(e^x$ -1) me laisse perplexe...

De plus, il n'y a pas de problème pour $0^-$ , car la limite ne peut se chercher que pour $0^+$

en effet :

condition d'existence de $ln(e^x$ -1) : $strong>e^x$ -1 > 0

$e^x$ -1 > 0 <=> $e^x$ > 1 <=> x > 0

En appelant f la fonction définie par $f(x)=xln(e^x$ -1) :Df=]0,+∞[

La limite à étudier est donc la limite en $0^+$

Avec les équivalents, c'est rapide :

$ex−1∼xe^x-1 \sim x$

$xln(ex−1)∼xlnxxln(e^x-1) \sim xlnx$

La limite de xlnx lorsque x tend vers $0^+$ est "semi-usuelle" : c'est 0.

Si elle figure dans ton cours , tu l'utilises directement.
Sinon, tu la démontres en posant x=1/X et en faisant tendre X vers +∞ et tu tombes sur une limite vraiment usuelle.

En bref, la limite cherchée est 0

J'avais pensé à cela. Mais en cours nous avons vu cette propriété :

f équivalent à g en xo

ln(f) est équivalent à ln(g) en xo ssi ln(g) tend vers + l'infini.

Du coup on ne peut pas appliquer l'équivalence si?

J'ignore ton cours.

Au sujet du passage au logarithme pour les équivalents, je t'indique la propriété usuelle, pour U(x) et V(x) strictement positifs:

$\text{si u(x) \sim v(x) et si u(x) et v(x) ne tendent pas vers 1, alors \ ln(u(x)) \sim ln(v(x))$

Tu peux consulter éventuellement cet article :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Opérations_sur_les_équivalents#Composition_.C3.A0_gauche_par_le_logarithme_2

Si tu n'as pas cette propriété dans ton cours, essaie une autre méthode, bien sûr.

D'accord. Je te remercie.

La dernière est toujours en +∞ et je n'ai pas du tout de piste...

$e^x$ - ln(ln(x))

Pour la dernière, la limite est évidemment +∞

Tu peux mettre x en facteur et utiliser les limites usuelles.

$f(x)=ex−ln(ln(x))=x(exx−ln(ln(x))x)f(x)=e^x-ln(ln(x))=x(\frac{e^x}{x}-\frac{ln(ln(x))}{x})$

Il te reste à trouver la limite de ln(ln(x))/x

Tu poses ln(x)=X

$\frac{ln(ln(x))}{x}=\frac{ln(x)}{e^x}=\frac{\frac{ln(x)}{x}}{\frac{e^x}{x}$

Tu tires les conclusions.

Dans ce que vous m'avez proposé, on a donc ln(X) / X qui tend vers 0, et $e^X$ / X qui tend vers +∞ par croissances comparées. Donc le quotient d'une fonction qui tend vers 0 et d'une qui tend vers +∞ est bien 0.

Ainsi par somme, ce qui a dans la parenthèse tend vers +∞. Par produit, f(x) tend vers +∞.

La rédaction est bonne ?

A toi de voir pour la rédaction proprement dite, mais la démarche est juste.