Exo logique et ensemble

Bonjour,

J'ai un exo à faire mais je ne sais comment commencer.
Voici l'énoncé :

Soit X un ensemble et $μ\mu$ une application de P(X) dans ℜ $+^+$ vérifiant :

$E_1$ : $μ\mu$ (∅) = 0
$E_2$ : $∀\forall$ A,B∈P(X), A ⊂ B ⇒ $μ\mu$ (A) ≤ $μ\mu$ (B)
$E_3$ : $∀\forall$ A,B∈P(X), $μ\mu$ (A∪B) ≤ $μ\mu$ (A) + $μ\mu$ (B)

De plus, pour tout A de P(X), on note A barre le complémentaire de A dans X. Enfin l'ensemble $β\beta$ désignera :

$β\beta$ = {A ⊂ X / $∀\forall$ B∈P(X), $μ\mu$ (A∩B)+ $μ\mu$ (A barre ∩ B) = $μ\mu$ (B)}

Partie I. Généralités

Montrer que ∅ et X sont dans $β\beta$

Bonjour,

Bizarre...bizarre...

Attends d'autres avis.

Bonjour à tous deux.
Ce qui me parait bizarre, c'est la définition de A dans laquelle apparaît la lettre A qui n'est plus libre.
On pourrait (peut-être définir A comme :
A = {M⊂X/∀B∈P(X) : μ(M∩B)+μ(M barre ∩ B) = μ(B)}
On obtient alors ∅∈A et X∈A (sauf erreur de ma part...)

C'est M (et non B) que je remplace par ∅, puis par X.
Mais peut-être ma "définition" de A est-elle différente de celle de l'énoncé ?

Mtschoon, je te laisse poursuivre car je ne puis rester plus longtemps aujourd'hui.

Bonjour Mathtous (et bon dimanche)

Je ne suis guère libre aussi...

Cet énoncé est très bizarre...comme tu dis, définir A en fonction de A laisse perplexe...

Peut-être que Veitchii a mal recopié l'énoncé...

Bonjour à tout les deux. Merci de vos réponses.

Après avoir relu plusieurs fois l'énoncé... J'ai remarqué les A se ressemblent, ce n'est pas le même A. Je corrige

J'ai mis bêta : $β\beta$ à la place du A en début de définition.

Et donc?

Avecla modification de l'énoncé que tu as donnée, cela semble fonctionner

Pour A=∅

$μ(∅∩b)+μ(∅‾∩b)=μ(∅)+μ(x∩b)=μ(∅)+μ(b)=0+μ(b)=μ(b)\mu(\emptyset \cap b)+\mu(\overline{\emptyset}\cap b)=\mu(\emptyset)+\mu(x\cap b)=\mu(\emptyset)+\mu(b)=0+\mu(b)=\mu(b)$

Donc ∅ ∈ β

PourA=X, tu pratiques pareil et tu dois trouver que X ∈ β

Ok ça marche ! Merci. Par contre, pourriez-vous m'expliquer les différentes étapes des calculs parce que je ne vois pas trop... Et pareil, qd je remplace A = X je bloque au début :

$μ(x∩b)+μ(xbarre∩b)\mu (x\cap b)+\mu (xbarre\cap b)$

Voilà.

Idées :

Le complémentaire de X est ∅

Le complémentaire de ∅ est X

L'intersection de ∅ avec n'importe quelle partie B est ∅

L'intersection de X avec n'importe quelle partie B est B

Tu dois utiliser la propriété $E_1$ de l'application μ

Avec cela, tu dois pouvoir faire la question 1

Avec des amies, on s'était dit pourquoi ne pas avoir remplacé B par l'ensemble vide ?

Je ne comprends pas.

Relis la définition de l'ensemble β que tu as donnée et réfléchis.

C'est cette définition que tu sembles ne pas comprendre.

Pour prouver que ∅ appartient à β, c'est A qu'il faut remplacer par ∅( non B, vu que l'égalité à prouver doit être vraie pour toute partie B de X)

Pour prouver que X appartient à β, c'est A qu'il faut remplacer par X( non B, vu que l'égalité à prouver doit être vraie pour toute partie B de X)

D'accord. Ça c'est OK.

Donc si je fais avec toutes les idées que vous m'avez cité là haut j'ai ça normalement :

Pour A = X

$μ(x∩b)+μ(xbarre∩b)=μ(b)+μ(⊘∩b)=μ(b)+μ(⊘)=μ(b)+0=μ(b)\mu (x\cap b)+\mu (xbarre\cap b) = \mu (b) + \mu (\oslash \cap b) = \mu (b) + \mu (\oslash ) = \mu (b) + 0 = \mu (b)$

Là normalement ça semble correcte.

Tout à fait correcte.

Cette égalité que tu viens de prouvée est vraie pour toute partie B de X.

Donc X appartient à β

Parfait, merci.

Montrer que Bêta est stable par complémentaire.

Je vois à peu pres ce qu'il faut faire, par contre je ne comprends pas le terme de stable ici. Auriez-vous une idée?

J'avais pensé à faire le complémentaire de bêta pour ainsi tomber sur Mu(B) mais je sais pas...

Non pour le complémentaire de β, cela n'a guère de sens.

β stable par complémentarité signifie que si une partie A appartient à β (c'est à dire respecte la définition donnée), sa partie complémentaireA barre appartient aussi à β (tu dois prouver que A barre respecte aussi la définition)

Ok, ça marche j'ai trouvé.

Partie II. Stabilité par intersection. Soient A et B dans bêta et D dans P(X)

Montrer que (A∩B)∪(Abarre∩B)∪(Abarre∩Bbarre) = A∩B barre

ça c'est OK.

Montrer que $μ(a∩bbarre∩d)+μ(abarre∩b∩d)+μ(abarre∩bbarre∩d)+μ(a∩b∩d)=μ(d)\mu (a\cap bbarre\cap d)+\mu (abarre\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)+\mu (a\cap b\cap d) = \mu (d)$

Pour cette question j'avais pensé à remplacer les éléments communs de l'égalité càd Bbarre∩D avec l'autre Bbarre∩D le nommer C, et le B∩D avec l'autre B∩D pour ainsi les remplacer par F pour ainsi avoir :

$μ(a∩c)+μ(abarre∩f)+μ(abarre∩c)+μ(a∩f)=μ(d)\mu (a\cap c) +\mu (abarre\cap f)+\mu (abarre\cap c)+\mu (a\cap f)=\mu (d)$

C'est bon?

C'est une bonne idée, mais il faut continuer à transformer le membre de gauche pour arriver à μ(D)

Lequel?

Mu(A∩C) ?

A toi de voir ! C'est à toi de faire l'exercice...

Je te suggère de regrouper le 1er avec le 3ème terme, ainsi que le second avec le 4ème

C'est déjà fait cela. Mais après à partir de sa, je ne sais comment continuer

$μ(a∩c)+μ(abarre∩c)+μ(a∩f)+μ(abarre∩f)\mu (a\cap c) + \mu (abarre\cap c) + \mu (a\cap f) + \mu (abarre\cap f)$

Salut Veitchii,

Utilise la définition de $β\beta$ pour A (tu sais que : $a∈βa\in \beta$ ) d'une part pour la partie avec C et d'autre part pour la partie avec F.

Bonne soirée

Oui, je vois que le début ressemble beaucoup à la définition de Bêta

$μ(a∩c)+μ(abarre∩c)=μ(c)\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap c) = \mu (c)$

$μ(a∩f)+μ(abarre∩f)=μ(f)\mu (a\cap f)+\mu (abarre\cap f) = \mu (f)$

J'avais pensé à faire cela, mais je pense pas que ce soit ça étant donné qu'on doit arriver sur $μ(d)\mu (d)$

Si c'est bien ça, ensuite tu peux remplacer C et F par leurs vraies valeurs (qui contiennent D).

J'arrive pas à voir ou est-ce que vous voulez en venir par "leurs vraies valeurs".

Après ce que j'ai écris précédemment je ne sais comment poursuivre.

Tu as toi-même défini C et F dans un de tes posts précédents en fonction de B et D, il faut reprendre ces valeurs dans les expressions de $μ\mu$ .

Mais si je remplace par leurs vraies valeurs je n'aurai rien montré, et au final je tourne en rond...

$μ(a∩c)+μ(abarre∩c)=μ(a∩bbarre∩d)+μ(abarre∩b∩d)=μ(d)\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap c) = \mu (a\cap bbarre\cap d)+\mu (abarre\cap b\cap d) = \mu (d)$

C'est cela que vous voulez que j'note... Si oui, je ne comprends pas pourquoi.

Tu as dû t'égarer dans la fin de la démarche.

Je reprends :

Tu as trouvé que le membre de gauche de l'égalité à démontrer valait $μ(c)+μ(f)\mu(c)+\mu(f)$

En remplaçant C et de F par leurs expressions de départ, ce membre de gauche vaut donc :

$μ(b‾∩d)+μ(b∩d)=..........\mu(\overline b\cap d)+\mu(b\cap d) =..........$

Si tu comprends ce qu'il faut mettre à la place des ........(en utilisant encore une fois la propriété de l'énoncé qui définit l'apllication μ), tu as fini la démonstration.

C'est peut-être ce dernier maillon qui t'a échappé.

En relisant les égalités que tu as écrites sur ta dernière question, j'ai un petit doute sur ta façon de rédiger...

J'espère que je me trompe, mais ne partirais-tu pas de l'égalité à démontrer ???

Si c'est le cas, tu changes.

En appelant, par exemple, MG le membre de gauche, tu poses :

$mg=\mu(a\cap \overline{b}\cap d)+\mu( \overline{a}\cap b\cap d)+\mu(\overline{a}\cap \overline{b}\cap d)+\mu(a\cap b\cap d) \$

Tu fais les transformations nécessaires sur MG :

$\ mg=... \ mg=... \ etc$

Et à la dernière transformation, tu dois trouver :

$mg=μ(d)mg=\mu(d)$

Tu peux alors mettre en conclusion (seulement en conclusion):

$\tex\fbox{donc \ \ \ \mu(a\cap \overline{b}\cap d)+\mu( \overline{a}\cap b \cap d)+\mu(\overline{a} \cap \overline{b}\cap d)+\mu(a\cap b\cap d)=\mu(d)} \$

C'est comme vous dite se maillon qui me manque pour finir. Car après avoir remplacé et ordonner je ne sais pas comment je pourrais poursuivre et trouver Mu(D) à la fin.

Comment à partir des transformations que je fais je puisse tomber à la fin du Mu(D) c'est ça que j'arrive pas à voir et faire du coup.

Pour le "dernier maillon", tu en es arrivée à :

$mg=μ(b∩d)+μ(b‾∩d)mg=\mu(b\cap d)+\mu(\overline{b}\cap d)$

Il te suffit d'appliquer la définition de l'application μ en changeant les notations

Tu sais que β est l'ensemble des parties A de X telles que pour tout B de X :
$μ(a∩b)+μ(a‾∩b)=μ(b)\mu(a\cap b)+\mu(\overline{a}\cap b)=\mu (b)$

Tu donnant à B la valeur D :

$μ(a∩d)+μ(a‾∩d)=μ(d)\mu(a\cap d)+\mu(\overline{a}\cap d)=\mu (d)$

Tu donnes à A la valeur B :

$μ(b∩d)+μ(b‾∩d)=μ(d)\mu(b\cap d)+\mu(\overline{b}\cap d)=\mu (d)$

Donc :

$mg=μ(d)mg=\mu(d)$

OK, merci. Donc si on faisait un petit récap, je dois commencer par dire quoi et conclure par quoi... Excusez-moi je suis un peu perdu là.

Si tu reprends ce qui a été écrit, dans l'ordre chronologique, je pense que tu dois y arriver.

Bien sûr il ne faut pas partir de l'égalité à démontrer, pars du membre de gauche.

Tu poses, par exemple
$mg=μ(a∩b‾∩d)+μ(a‾∩b∩d)+μ(a‾∩b‾∩d)+μ(a∩b∩d)mg=\mu(a\cap \overline{b}\cap d)+\mu( \overline{a}\cap b\cap d)+\mu(\overline{a}\cap \overline{b}\cap d)+\mu(a\cap b\cap d)$

Tu indiques tes notations C=... et F=...

Tu écris MG avec ces notations C et F

Tu regroupes les termes pour trouver

$mg=μ(c)+μ(f)mg=\mu(c)+\mu(f)$

Tu retournes aux notations de l'énoncé :

$mg=μ(b∩d)+μ(b‾∩d)mg=\mu(b\cap d)+\mu(\overline{b}\cap d)$

D'où

$mg=μ(d)mg=\mu(d)$

CQFD

Donc voilà ce que j'ai écris :

On pose MG = $μ(a∩bbarre∩d)+μ(a∩b∩d)+μ(abarre∩bbarre∩d)+μμ(a∩b∩d)\mu (a\cap bbarre\cap d) + \mu (a\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)+\mu \mu (a\cap b\cap d)$

On pose ensuite, C = Bbarre∩D et F = B∩D

On obtient : $\mu (a\cap c) + \mu (abarre\cap f) + \mu (abarre\cap c)+\mu (a\cap f)$

J'ordonne les termes : $\mu (a\cap c) + \mu (abarre\cap c)+\mu (a\cap f)+\mu (abarre\cap f)$
$\mu (c) + \mu(f)$
$\mu (b\cap d) + \mu (bbarre\cap d)$
$\mu (d)$

Ainsi, $μ(d)=[tex]μ(a∩bbarre∩d)+μ(a∩b∩d)+μ(abarre∩bbarre∩d)+μμ(a∩b∩d)\mu (d) = [tex]\mu (a\cap bbarre\cap d) + \mu (a\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)+\mu \mu (a\cap b\cap d)$ [/tex]

Voilà. Correcte?

La structure est correcte.

Evidemment, tout dépend du niveau de rigueur dans la rédaction qui est demandé.

Par exemple, pour justifier "On obtient $mg=μ(a∩c)+....mg=\mu(a\cap c)+....$ , ce serait bien de préciser que c'est la propriété d'associativité de la relation ∩ qui est utilisée

Pour justifier "J'ordonne les termes ....", ce serait bien de préciser que c'est la propriété de commutativité de la loi + qui est utilisée

Pour justifier $mg=μ(c)+μ(f)mg=\mu(c) +\mu(f)$ il faudrait expliquer pourquoi;idem pour le $mg=μ(d)mg=\mu(d)$ de l'avant dernière ligne

En bref, essaie de fignoler les explications.

Bien sûr, c'est ton professeur qui doit te corriger, pas moi !

Bon travail.

Super merci beaucoup !

Il me reste avant tout deux autres questions.

En déduire que : $μ(a∩b∩d)+μ(abarre∩bbarre∩d)\mu (a\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)$ ≤ $μ(d)\mu (d)$

J'ai pas d'idée.

(Courage me reste 2 questions en comptant celle-ci...)

Vu que l'on te dire "En déduire" et que μ est une application de P(X) dans ℜ+ , avec un peu de réflexion, tu vas trouver.

Ben on a pas grand chose concernant mu(D). Et avec R+ on sait que c'est supérieur ou égale à zéro. On a les propositions E2, E3 mais ça m'aide pas.

Pense d'abord àEn déduire, ce qui veut direutiliser l'égalité qui vient d'être démontrée.

Isole $μ(a‾∩b‾∩d)+μ(a∩b∩d)\mu(\overline a\cap \overline b \cap d)+\mu(a\cap b\cap d)$ de l'égalité précédemment démontrée.

$μ(a‾∩b‾∩d)+μ(a∩b∩d)=μ(d)−[μ(a∩b‾∩d)+μ(a‾∩b∩d)]\mu(\overline{a}\cap \overline{b}\cap d)+\mu(a\cap b\cap d) =\mu(d)-[\mu(a\cap \overline{b}\cap d)+\mu( \overline{a}\cap b\cap d)]$

μ est une application de P(X) dansℜ+ donc ..................................