Calculer la somme des cubes d’entiers consécutifs (SUITES)


  • K

    Bonjour,
    Je suis bloqué dès la première question sur ce dm :
    On considère une suite (Un) définie pour tout entier naturel n, n≥1, par Un =n³ et la somme de ses premiers termes Sn=U1+...+Un = ∑ (k=1 en bas) (n en haut) k³

    On note Vn la somme des n premiers entiers naturels, non nuls soit Vn=1+...+n=∑ (k=1 en bas) (n en haut) k.

    1- Avec un tableur ou une calculatrice (graph 35+) calculer les valeurs de Vn et de Sn pour 1≤n≤20.

    J'ai trouvé S1=1 S2=9 car j'ai fais afficher les termes et je les additionne manuellement est il possible de le faire directement ?
    De même pour V1= 1 V2=3 est il possible de le faire directement ?

    2-Exprimer Vn en fonction de n

    Je ne sais pas comment trouver. J'ai V1=1, V2=3, V3=6, V4=10, V5=15 V6=21

    b) En déduire une conjecture sur la formue donnant la valeur de Sn en fonction de n

    c) Démontrer le résultat conjecturé par récurrence

    Merci d'avance


  • M

    Bonjour,
    Avec la calculatrice ou le tableur, tu trouves les valeurs demandées.
    Celles que tu donnes sont correctes.

    Pour la question 2, une méthode simple consiste à calculer 2.Vn sous la forme :
    [1+2+3+ ... + (n-2)+(n-1)+n] + [n+(n-1)+(n-2) + ... + 3+2+1] et de regrouper astucieusement les termes.


  • K

    Merci de votre réponse.

    J'ai finalement réussi a aller jusqu'à la dernière question
    Mais je n'arrive pas a continuer au niveau de l'hérédité que dois t-on supposer vrai Vn ou Sn ou autre chose ?


  • M

    Ça dépend.
    As-tu démontré la formule permettant de calculer Vn ?
    Que trouves-tu ?

    Quelle est ta conjecture concernant Sn ?


  • K

    Vn = n*((n+1)/2)

    Sn = n²*((n+1)²/4)

    ?


  • M

    Bon.
    Tu as vérifié que ta conjecture (pour Sn) est vraie pour n=1 (pas de difficulté).
    Tu n'as pas besoin (ici) de cette débauche de parenthèses : Sn = n²(n+1)²/4
    Tu dois passer à Sn+1S_{n+1}Sn+1
    Sn+1S_{n+1}Sn+1 = SnS_nSn + ??


  • K

    C'est la que je bloque, nous avons une rédaction a mettre
    alors j'ai mis :
    I : S1=1
    Donc S1 est vrai

    H: Supposons que Sn est vrai pour un certain n pour ce n on a alors
    Sn = n²*(n+1)²/4

    Sn+1= (n+1)²*(n+2)²/4 (Hypothèse de récurrence)
    et la lorsque je développe je ne trouve pas pareil


  • M

    Citation
    Supposons que Sn est vrai pour un certain n pour ce n on a alorsTon hypothèse de récurrence est mal énoncée : on suppose que la formule est vraie jusqu'à l'ordre n.

    Citation
    Sn+1= (n+1)²*(n+2)²/4 (Hypothèse de récurrence)
    Non : l'hypothèse de récurrence est Sn = n²*(n+1)²/4
    Ensuite, pour l'hérédité, tu dois démontrer qu'on a bien Sn+1S_{n+1}Sn+1= (n+1)²*(n+2)²/4
    Pour cela, je t'avais donné le début du calcul :
    Sn+1S_{n+1}Sn+1 = SnS_nSn + ??


  • K

    Ah d'accord je comprends mieux cette partie

    Je ne vois pas par contre le calcul..

    Mais on peux dire que Sn = Vn ² non cela irait plus vite ?


  • M

    Non : il faut de toute façon effectuer les calculs pour le démontrer.
    Écrire Sn = Vn² ou Sn = n²*(n+1)²/4 c'est la même chose.
    Mais ce calcul ?
    Je t'aide à nouveau :
    Sn+1S_{n+1}Sn+1 = SnS_nSn + ??
    Réponse : Sn+1S_{n+1}Sn+1 = SnS_nSn +(n+1)³
    Donc Sn+1S_{n+1}Sn+1 = n²*(n+1)²/4 + (n+1)³
    Tu réduis au même dénominateur, tu factorises, tu observes, et le miracle se produira.


  • K

    Oh oui !

    Je trouve Sn+1= (n+1)²* (n²/4 + n+1)
    Donc c'est égal a ce qu'il faut réussir a montrer : Sn+1= (n+1)²*(n+2)²/4

    Mais comment avez vous trouvé que Sn+1= Sn + (n+1)³


  • M

    C'est la définition de la suite.
    Sn = 1³+2³+...+n³
    Et si on va un rang plus loin :
    Sn+1S_{n+1}Sn+1 = 1³+2³+...+n³ + (n+1)³


  • K

    Oh d'accord ! Merci beaucoup pour l'aide que vous m'avez apporté !!


  • M

    De rien.
    Bon courage.


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