Ensemble vide


  • F

    Bonjour/soir à tous,

    D'abord bonne rentrée à tous/toutes !
    Voici un petit exercice de logique sur le thème des ensembles.

    Démontrer que l'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble.


    Soit aaaun ensemble quelconque etxxxun élément de aaa.
    La proposition (∀xxx): xxx∈∅ est fausse. Donc l’implication suivante :
    (∀xxx): x∈x\inx→x∈a\rightarrow x\in axa est vraie ?
    Si oui, il s'en suit que : ∅⊂a\subset aa

    Merci pour votre réponse 😄


  • M

    Bonjour,
    Pour commencer, attention à des écritures du type (∀x) ... qui peuvent ne pas définir un ensemble : il vaut mieux toujours faire référence à un ensemble déjà existant : par exemple, (∀x∈E) ...
    Le raisonnement qui suit me semble correct : je le résume : tout élément de l'ensemble vide est aussi élément de n'importe quel ensemble, ce qui donne l'inclusion souhaitée.

    Plus directement, on doit démontrer que l'assertion (∀x∈∅) : x∈A est vraie.
    Pour cela, on peut démontrer que sa négation, (∃ x∈∅) : x∉A est fausse, ce qui est évident puisqu'il n'existe aucun élément dans l'ensemble vide.

    Si ça t'intéresse, tu peux lire : Réflexions sur la logique formelle.


  • F

    Merci pour ta réponse.


  • M

    De rien.


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