Algèbre Linéaire

Bonjour,

J'essaye de refaire un exercice mais j'ai un peu de mal merci de bine vouloir me corriger et m'aider

Exercice :

Considérons dans R^3 les trois vecteurs suivants :

u1=(1,-1,2) u2(1,3,-1) u3(3,1,3)

1- La famille (u1,u2,u3) est-elle libre ? Quelle information peut-on en déduire pour dim F

Ce que j’ai fait :

λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 = 0

{ λ1 + λ2 + 3λ3 =0
{ -λ1 +3λ2 + λ3=0
{ 2λ1 -λ2 + 3λ3=0

Donc la famille est libre. information que l’on peut déduire : dim(F<=2)

2 - Le sous espace vect F est-il de dimension 0 ? de dimension 1 ?
Ce que j’ai fait :
toutes famille libres a moins d’éléments que le nombre de dim(v). Donc la famille a au plus 2 éléments.

3- En déduire la dimension de F. Montrer que (u1,u2) est une base de F. Exprimer le vecteur u3 comme une combinaison linéaire des vecteurs u1 et u2.

Je ne sais pas comment faire

Considérons le sous ensembre G de R^3 défini par

G ={ (x,y,z) ∈ R^3 | -5x+3y + 4z=0 }

4- G est il un sous espace vectoriel de R^3 ?

Ce que j’ai fait :

Element null : (0,0,0) | -5x0+3x0+4x0=0
Produit : x= (x,y,z); λ∈ R alors λ(x,y,z)=λx+λy+λz=0 donc λx ∈ G
Somme : x= (x,y,z) et x’= (x’,y’,z’) ∈ G : x + x’ = (x+x’, y+y’, z+z’) ∈ G
G est un sous espace vect de R^3

5- Donner une base B de G et la dimension de G

Ce que j’ai fait :
G ⊂ R^3 donc dim G<=2

u1=(1,0,-1) u2=(0,1,-1)

On montre que c’est libre ou pas :

αu1+βu2
{ α+β
{ β
{ -α-β =(0,0) α=β=0

La famille est libre dim G=2

(u1,u2) base de G

6- Compléter la base B de G en une base de R^3

Je ne sais pas comment faire

7- A-t-on F=G ?

Ce que j’ai fait :
On doit vérifier que les dimensions de F et G sont les même si c’est les même alors F=G
G est de dimension 2
F est de dimension <=2

donc F=G

Bonsoir,

Je pense que la correction est ici : exercice 3

http://webusers.imj-prg.fr/~julie.deserti/cours/Corrige_examen_dec2014.pdf

Merci !

De rien et bon entraînement !